电路的相关定理

1、第,4,章,电路的定理,Circuit Theorems,4.1,叠加定理,4.2,替代定理,4.3,戴维南定理和诺顿定理,4.4,特勒根定理,4.5,互易定理,4.6,对偶原理,叠加定理,在线性电路中，任一支路电流,或电压,都是电路中,各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流,或电,压,的代数和,4,1,叠加定理,Superposition Theorem,不作用,的,电压源,u,s,0,短路,电流源,i,s,0,开路,举例证明定理,i,b1,i,a1,R,2,R,3,R,1,u,s1,i,11,i,b,i,a,R,2,R,3,R,1,u,s1,u,s2,u,s3,i,1,i,b2,i,a

2、2,R,2,R,3,R,1,u,s2,i,12,i,b3,i,a3,R,2,R,3,R,1,u,s3,i,13,i,1,i,11,i,12,i,13,证明,i,b,i,a,R,2,R,3,R,1,u,s1,u,s2,u,s3,i,1,R,11,i,a,R,12,i,b,u,s11,R,21,i,a,R,22,i,b,u,s22,s,s,a,22,s,12,11,s,22,22,21,12,11,22,22,12,11,u,R,u,R,R,R,R,R,R,u,R,u,i,3,s,12,2,s,22,12,1,s,22,u,R,u,R,R,u,R,u,s1,u,s2,u,s2,u,s3,由回路法,

3、i,b1,i,a1,R,2,R,3,R,1,u,s1,i,11,i,b2,i,a2,R,2,R,3,R,1,u,s2,i,12,i,b3,i,a3,R,2,R,3,R,1,u,s3,i,13,R,11,i,a1,R,12,i,b1,u,s1,R,21,i,a1,R,22,i,b1,0,R,11,i,a2,R,12,i,b2,u,s2,R,21,i,a2,R,22,i,b2,u,s2,R,11,i,a3,R,12,i,b3,0,R,21,i,a3,R,22,i,b3,u,s3,1,s,22,22,21,12,11,22,12,1,s,1,a,0,u,R,R,R,R,R,R,R,u,i,s,s,2

4、,s,22,12,2,s,12,2,s,22,22,21,12,11,22,2,12,2,2,a,u,R,R,u,R,u,R,R,R,R,R,R,u,R,u,i,3,s,12,3,s,12,22,21,12,11,22,3,s,12,3,a,0,u,R,u,R,R,R,R,R,R,u,R,i,1,s,22,22,21,12,11,22,12,1,s,1,a,0,u,R,R,R,R,R,R,R,u,i,s,s,2,s,22,12,2,s,12,2,s,22,22,21,12,11,22,2,12,2,2,a,u,R,R,u,R,u,R,R,R,R,R,R,u,R,u,i,3,s,12,3,s,1

5、2,22,21,12,11,22,3,s,12,3,a,0,u,R,u,R,R,R,R,R,R,u,R,i,3,s,12,2,s,22,12,1,s,22,u,R,u,R,R,u,R,s,s,a,22,s,12,11,s,22,22,21,12,11,22,22,12,11,u,R,u,R,R,R,R,R,R,u,R,u,i,i,a,i,a1,i,a2,i,a3,证得,即回路电流满足叠加定理,推广到,l,个回路,第,j,个回路的回路电流,ll,sll,l,jl,sjj,j,l,j,R,u,R,R,u,R,R,u,R,i,1,1,1,11,s,11,第,j,列,ll,lj,sjj,jj,j,j,

6、u,u,u,u,s,22,s,2,11,s,1,同样,可以证明,线性电阻电路中任意支路的电压,等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压,的代数和,ll,lj,jj,j,j,u,u,u,u,s,s,22,s,2,11,s,1,jj,u,s,1,u,s,b,把,u,si,个系数合并为,G,ji,si,b,i,ji,u,G,1,jb,ji,j,j,i,i,i,i,2,1,第,i,个电压源单独作用时在,第,j,个回路中产生的回路电流,支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理,1,叠加定理只,适用于,线性电路,求电压,和,电流,不能用叠加定理求功率,功率为电源的二次函数,不适用于非线性电

7、路,2,应用时电路的结构参数必须,前后一致,应用叠加定理时注意以下几点,5,叠加时注意,参考方向,下求,代数和,3,不作用的电压源,短路,不作用的电流源,开路,4,含受控源,线性,电路亦可用叠加,受控源,应始终,保留,例,1,求图中电压,u,10V,4,A,6,4,u,解,1) 10,V,电压源单独作用,4,A,电流源开路,4,A,6,4,u,u,4V,2) 4,A,电流源单独作用,10,V,电压源短路,u,4,2.4,9.6V,共同作用,u,u,u,4,9.6),5.6V,10V,6,4,u,例,2,求电压,U,s,1) 10,V,电压源单独作用,2) 4,A,电流源单独作用,解,10V,6

8、,I,1,4A,U,s,10,I,1,4,10V,6,I,1,10,I,1,4,U,s,6,I,1,4A,U,s,10,I,1,4,U,1,U,1,U,s,10,I,1,U,1,U,s,10,I,1,U,1,U,s,10,I,1,U,1,10,I,1,4,I,1,10,1+4,1,6V,U,s,10,I,1,U,1,10,1.6)+9.6=25.6V,共同作用,U,s,U,s,U,s,6+25.6=19.6V,10V,6,I,1,10,I,1,4,U,s,U,1,6,I,1,4A,U,s,10,I,1,4,U,1,A,I,1,4,6,10,1,A,I,6,1,4,6,4,4,1,V,U,6,9

9、,4,6,4,6,4,1,齐性原理,homogeneity property,当电路中只有一个激励,独立源,时，则响应,电压或电流,与激励成正比,R,u,s,r,R,k,u,s,k,r,已知：如图,求：电压,U,L,例,3,R,1,R,3,R,5,R,2,R,L,u,s,R,4,U,L,设,I,L,1A,I,L,U,U,K,U,s,U,U,L,K,I,L,R,L,可加性,additivity property,线性电路中，所有激励都增大,或减小,同样的倍数,则电路中响应也增大,或减小,同样的倍数,R,u,s,1,r,1,R,u,s,2,r,2,R,k,1,u,s,1,k,2,u,s,1,k,1

10、,r,1,k,2,r,2,R,u,s,1,u,s,2,r,1,r,2,R,k,1,u,s,1,k,1,r,1,R,k,2,u,s,2,k,2,r,2,u,s,1,u,s,2,r,R,k u,s,1,k u,s,2,k r,R,线性,例,4,例,5,例,6,4. 2,替代定理,Substitution Theorem,任意一个线性电路，其中第,k,条支路的电压已知为,u,k,电流,为,i,k,那么就可以用一个电压等于,u,k,的理想电压源,电流等于,i,k,的,独立电流源,来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电,流均保持不变,替代定理,A,i,k,u,k,支,路,k,A,u,k,i,k,A,证

11、明,u,k,u,k,A,i,k,u,k,支,路,k,A,C,B,A,i,k,u,k,支,路,k,A,B,AC,等电位,u,k,A,i,k,u,k,A,B,说明,1,替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路,2,被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系,1,原电路和替代后的电路必须有唯一解,2,替代定理的应用必须满足两个前提,戴维南定理,任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控,源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压,源,U,o,和电阻,R,i,的串联组合来等效替代；其中电压,U,o,等于,端口开路电压，电阻,R,i,等于端口中所有独立电源置零后,端口的入端等效电阻,A,a,b

12、,a,b,R,i,U,o,4,3,戴维南定理和诺顿定理,Thevenin,Norton Theorem,证明,电流源,i,为零,a,b,A,u,网络,A,中独立源全部置零,a,b,P,i,u,R,i,u,U,oc,外电路开路时,a,b,间开路电压,u,R,i,i,得,u,u,u,U,oc,R,i,i,证明,a,b,A,i,u,替代,a,b,A,i,u,N,i,U,oc,u,N,a,b,R,i,叠加,任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一,端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联,来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电,流，而电阻等于把该一端口的全部独立电源置零后的输,入

13、电导,诺顿定理,A,a,b,a,b,G,i,I,sc,证明留作课后思考,例,1,I,A,2,A,1,u,o1,R,o1,u,o2,R,o2,I,例,2,外电路含有非线性元件,J,100V,4,0V,200V,30K,10K,60K,U,I,5K,A,B,100,40,200,30K,10K,60K,A,B,U,AB,解,求开路电压,U,AB,当电流,I,2mA,时继电器的,控制触点闭合（继电器线圈,电阻是,5K,问现在继电器触点是否闭合,60K,U,I,5K,u,AB,R,AB,A,B,100,40,200,30K,10K,60K,A,B,U,AB,60,200,30,100,10,40,60

14、,1,30,1,10,1,AB,U,U,AB,26.7V,R,AB,10 / 30 / 60 = 6.67K,二极管导通,I,26.7 / (5+6.67),2.3mA 2mA,结论,继电器触点闭合,例,3,R,多大时能从电路中,获得最大功率，并求,此最大功率,解,15V,5V,2A,20,20,10,5,85V,R,10,5V,20,15V,2A,20,10,5,85V,R,10,10V,2A,10,10,5,85V,R,10,R,4.29,获最大功率,50V,30,5,85V,R,U,0,R,0,R,V,U,80,85,35,30,50,35,5,0,29,4,35,5,30,0,R,W,

15、P,373,29,4,4,80,2,max,10V,2A,10,10,5,85V,R,10,U,o,R,i,3,U,R,解,1,求开路电压,U,o,U,o,6,I,1,3,I,1,I,1,9/9=1,A,U,o,9,V,3,6,I,1,9V,U,o,6,I,1,已知如图，求,U,R,例,4,3,6,I,1,9V,U,R,6,I,1,3,2,求等效电阻,R,i,方法,1,开路电压、短路电流,3,6,I,1,9V,I,sc,6,I,1,U,o,9V,3,I,1,6,I,1,I,1,0,I,sc,1.5,A,6,9V,I,sc,R,i,U,o,I,sc,9/1.5=6,方法,2,加压求流,独立源置零

16、，受控源保留,U,6,I,1,3,I,1,9,I,1,I,1,I,6/(6+3)=(2/3,I,R,i,U,I,6,3,6,I,1,6,I,1,U,I,U,9,2/3,I,6,I,3,等效电路,V,3,9,3,6,3,R,U,U,o,R,i,3,U,R,0,0,1,1,b,k,k,k,b,k,k,k,i,u,i,u,和,网络,N,和,具有相同的拓扑结构,N,N,2,各支路电压、电流均取关联的参考方向,1,对应支路取相同的参考方向,取,特勒根定理,N,4. 4,特勒根定理,Tellegens Theorem,证明,i,u,u,i,u,k,k,i,u,i,u,i,u,i,u,i,i,i,u,u,u

17、,k,k,令,流出,流出,i,u,i,u,i,u,b,k,k,k,1,i,流出节点,的,所有支路电流和,n,个节点,有,n,项,0,同理可证,0,1,b,k,k,k,i,u,例,已知如图,求电流,i,x,R,10V,1,A,N,R,5V,i,x,N,解,i,1,i,2,设电流,i,1,和,i,2,方向如图所示,由特勒根定理，得,0,0,10,3,2,k,b,k,x,i,u,i,i,0,1,5,0,3,1,k,b,k,i,u,i,k,k,k,k,k,k,k,u,i,i,R,i,i,u,A,i,i,x,x,5,0,5,10,4. 5,互易定理,Reciprocity Theorem,第一种形式,激

18、励,电压源，响应,电流,图,a,电路中，只有,j,支路中有电压源,u,j,其在,k,支路中产生,的电流为,i,kj,图,b,电路中，只有,k,支路中有电压源,u,k,其在,j,支路中产生,的电流为,i,jk,当,u,k,u,j,时,i,kj,i,jk,i,kj,线性,电阻,网络,N,u,j,a,b,c,d,a,j,支路,k,支路,c,d,线性,电阻,网络,N,i,jk,u,k,a,b,b,j,支路,k,支路,证明,选定回路电流，使支路,j,和支路,k,都只有一个回路电流,流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致,i,kj,线性,电阻,网络,N,u,j,a,b,c,d,a,c,d,线性,电阻

19、,网络,N,i,jk,u,k,a,b,b,I,j,I,k,I,j,I,k,列方程,0,1,1,1,2,12,1,11,l,l,k,k,j,j,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,0,2,2,2,2,22,1,21,l,l,k,k,j,j,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,l,ll,k,lk,j,lj,l,l,kl,k,kk,j,kj,k,j,l,jl,k,jk,j,jj,j,l,l,k,k,j,j,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,u,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R

20、,j,jk,kj,k,u,I,I,j,行,j,列,k,列,j,jj,jj,j,u,I,I,图,a,0,0,0,k,u,图,b,图,a,图,b,k,kj,jk,j,u,I,I,k,行,k,kk,kk,k,u,I,I,j,jk,kj,k,u,I,I,j,jj,jj,j,u,I,I,图,a,图,b,k,kj,jk,j,u,I,I,k,kk,kk,k,u,I,I,无受控源,系数矩阵对称,kj,jk,当,u,k,u,j,时,i,kj,i,jk,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,l,ll,k,lk,j,lj,l,l,kl,k,kk,j,kj,k,j,l,jl,k,jk,j,jj,j

21、,l,l,k,k,j,j,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,u,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,I,R,当,含有受控源,时，系数矩阵不对称,kj,jk,互易定理不成立,互易定理成立,u,kj,i,j,j,j,k,k,a,i,k,u,jk,j,j,k,k,b,第二种形式,激励,电流源，响应,电压,当,i,k,j,j,时,u,kj,u,jk,课后思考,求电流,I,解,利用互易定理,I,2,0.5,I,1,0.5A,I,I,1,I,3,0.75A,A,1,4,3,2,2,8,10,1,I,例,1,I,2,4,2,8,10V,3,I,2,4,2,8

22、,10V,3,I,1,I,2,I,3,I,3,0.5,I,2,0.25A,例,2,R,_,2V,2,0.25A,已知如图,求,I,1,R,_,10V,2,I,1,解,R,_,2V,2,0.25A,互易,齐次性,注意方向,A,I,25,1,25,0,2,10,1,1,适用于线性网络,只有一个电源,时，电源支路和另一支路,间电压、电流的关系,2,激励为电压源时，响应为电流,激励为电流源时，响应为电压,电压与电流互易,3,电压源激励,互易时原电压源处短路，电压源串入另一,支路,电流源激励,互易时原电流源处开路，电流源并入另一,支路的两个节点间,4,互易时要注意电压、电流的方向,5,含有受控源的网络，互易定理一般不成立,应用互易定理时应注意,4. 6,对偶原理,Dual Principle,一,网络对偶的概念,1,平面网络,3,两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换,互换的元素,称为对偶元素,这两个方程所表示的两个电路互为对偶,例,1,网孔电流方程,R,1,R,2,i,l,u,s,节点电压方程,G,1,G,2,u,n,i,s,R,2,u,s,i,l,R,1,G,1,G,2,u,n,i,s,2,两个网络所涉及的量属于