量子力学第7章周世勋

1、原子中的电流和磁矩(1)原子中的电流密度iti,Je 二 一 =一 e 丁 #伽V 屮伽 * _ % * V 0伽 2 a 1 a id 球坐标系中V二0 +e +e -r dr e r d3 rsin d(p由于 =他几（厂比”（）的悝向波函数心（厂）和0与有关的函数部分甲（cos 0）都是实函数，所以代入上式后必如T:H。纺 J7|艸 ouisj r! iuia爲Q Q如严阡=d)uq+Vf 二吶 + e3ef + 帖二 74 4 # 4 JL4叫0U阳吃7血哝涵二*g如呗0豎冬 但厂r2 sin3drd3d(p波函数已归一(2)轨道磁矩J是绕z轴的环电流密度, (pde的电流元为：贝U总

2、磁矩(沿Z轴方向)是:匸|%忙sin妙d0所以通过截面em7th兀M广emh2“di = Je ds = jds = JrdOdr 由 此求得J 园周 电流的琏矩dM. = nr1 sin2 Odl = nr J)(D sin2 OdOdremTJisin0 2iP 丫小k/J dedremh2juC= -Bm关于磁矩几点讨论:由上式可以看出，磁 矩与兴,这就是把加 称为磁量子数的原由。“8 二=9.274x10_24J/T2他玻尔磁子对S态，(7 = 0),磁矩 胚二0,这廷由于电流为 零的缘故。由上面的磁矩表达式mh是轨道耳|动量的Z分量。mti2 juCL上式比值称为取比值(轨道转磁比)

3、,戒称为 g子。(e/2“C)为单位，则g二-1。记称为轨道片动量磁矩前面的理论尚有两方面的局卩艮:1未考虑粒子的自旋特征,微观粒子都有自旋特征。2仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒子体系。电子的自旅特征具有 自 旅特征粒子的 波函数多粒子体系实际应用讲授内容7.1电子自旋Electron spin7.2电子自旋算符与自旋波函数Electron spin operator and spin wave function7.3简单塞曼效应Simple Zeeman effect7.4两个角动量的耦合Coupling of two angular momentum7.5光谱的精细结构Fine

4、 structure of the spectrum7.6全同粒子的性质The characterization of similar particles7.7全同粒子系统的波函数泡利原理The wave function of similar particle system Pauli principle7.8两个电子的波函数The spin wave function of two electronsGEO 上 OEOO 2 saop Eaqod(pg 21ew)01a=aledues -a-aled (lueluoluolaubew) s羈曹也*凶縫也*毀轉-uownouoo8 SO0W

5、WH 法會拯 lpe_e0u$SA乌仑贝克. 哥徳斯米脱假设(1) 毎个电子具有自旋开动量 s，它在空间任意方7。(2)毎个电子具有自旋琏矩历s，它与自旋斥动量的关系是flf上的投影(SI)Ms 二S(CGS)JLICr M =5ZYen-土=2“(SI)M :J 1Y sz,en-土2/x= MB(CGS)(Mb 玻尔磁子)旋琏比卒:6e(SI)Sz M轨道琏矩与轨道片动量的关系:(CGS)同二寺(SI)M/ =2 pic(CGS)e(SI)2“Lz2 yc(CGS)自磁矩是轨道磁矩的两倍 7. 2 电子的自旋苏符和自旋函数1 . 自旋算符为了描述电子的 自旅特性，弓I入一个厄米算符 5 来

6、表征电子的自旋免动量 s注意:自旋开动量是电子内部的一种有特性,在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量, 它不口邑农示为坐标和 动*的 函 数。是自旅片动畳，应满足用动畳算持的普通对 易关系zS x S = ihS自 旋耳i动量平方算符平方分量间 的对易关系/ / /SxSy SQx/ / zZ ZYZ ZY=ihS 乙z=加xSS； + S； + S；反彳=0( = % Z)525X-S3=0ZVZV525y-SQ2=0525-5 52Z=0ZVS 的本征值是A cA cS； S；S?的本征值都是Z52X4= s2 = s2 =- y z 42的本征值宀s： + s； + s； = |

7、 九若将自旋片动量本征值表示为开动量本征值的 一般形式：S2 = $($ + 1)方 2二=msh3. 泡利算符 为了讨论问题方便,ms为“磁”量子g =)数A弓I入泡利算符&Sx = -a2XZ对易关系axa = 2ia泡利算符平方算符$2夕庁=0AAa a -x yAAC (7y xr 八=2A Aa a -y zAAcr crz yc 八=2zoAACTQ、-AA06r 八=2zoI Z x兀zy2 2?.2. 2a =a+o+ CFayzf d-2况1 =二 0 CT21 二二 0e二二 0本征值/八/6 Gy az的本征值都是土 12 -方 cr =- v s =-汽 x 2叮1 r

8、 2 _ r 2 _ r 2 _ 1 crx - (Jy-a z -1& 的本征值 a2 =a +af + a =3反对易关系伉，二吓+ 56 = 0Prove z， z y y4自旋算符的矩阵表示自旅算符在S?衣象中的矩阵形式，可根据 算符的一般理论，空符在其自身表象中为对用矩0、一1丿fl0-1/八现在来研究CTX、J的矩阵形式(c d)八八(a b、设q的矩阵形式为=由(*故有cT =d(a bd丿(a, d必为实数)F 二cb、丿i-*O0、oo00*oo0IIIIOqX 2OO+OIIIIOIIOO+a0IIaOO、IoIIOL OIIOAIIy 1hIIo、10丨11oqzqoX1

9、oq1hqyh、oo1bN)II1IIJ bF t贺o11oIIo泡利矩阵o rU 丿算符矩阵210 -八A6 二1 0、i 0丿/Z一1丿(0 -八A flS= 10、J 0丿1 20-1/5自旋函数电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子数S （构成力学量完全集合的力学量数Z为4个），波函数表示为fh屮二屮（兀莎乙亍力 屮二屮（x,y,z,Sz，f） ?殊図弊2(0)w(* y V 斜 SI) H 弋(* y斜02(0 )*() IT一 二 22OI)H a 、 (UJ1 o2 H2(H)H自施函数的正交归一性Zi=(l20)Zi=(l20)ZlZ 1 =(o2 21)0、=1 J1a

10、0七自旋算符的本征值方程八3(SJ = S(S +1)方 2孤(SJ =才沪丸(/)八1Szxms(丄)=msh%ms (Sz) = -hxms (S?)任意一个算符0的平均值将G 表示为二行二列矩阵21G22 丿对自旋求平均:G=y/Gy/ = 屮;(気GJ( 屮6G22 丿UJ对坐标和自 旋同时求平均G = y/+Gy/dr7.3 简单塞曼效应考虑氢原子和类氢廉子在磁场中的 情况在无外磁场的情况下，体系的定态Schrddinger方程育（0） _ _y22 r4-2r 22“-V2 - - 0（C = E0（C本征函数：0伽（门=心（厂）乙（。,。）” ）0伽（门=&必伽本征能量:氢原子

11、E = En（仅与有关）类氢原子E = Enl （与弘/有关）由2P态迁到1S态的叹迁频卒5 =（耳1 do）/力在有强磁场的1*况下（忽略自 旋与轨道运动的 相 互作用能）磁场弓I起的附加能量U =-（ML+MS）BS 二 一（L + 2S）-Bs2juc取的万方向为z轴方向，则（乙+2乞）冬BeBs = $ B(SI)(CGS)定态Schr6dinger方程力22幺2fB 八八本征函数：屮叽=0伽（匕3Xms/Vjnlmms =加方蚀=必 九sAs弘叭=叫人叭=叫人屮亦叫代入以上方程，写成2e efiBV2+(m + 2ms) i/nl2nmi s nlnm s nlnvn snlm2r

12、2/lic%貯乞+瓷働+ 2%)1时叫=q ,口 ehB2/zc当s込=_2时=乞+讐働-1)+浊2/zc1.当原子处在态时，/ = o , m = 0F 一 F匕。丄f200-1=En02/zc由于电子存在 自旋，原子处在石玆场中，原来的 翁乞级分裂为两条，正如斯特思一革拉赫实验中所观察到的。2. 2P态1S态的跃迁情况1S态的能级=Eg +2jnc2/uc2P态的能级 n = 2, I = 1, m = l, 0, 1气1丄=凤12E I = 21212E i di 21七efiBs+(1 + 1) = di +2/ncefiBs+ (0 + 1) = E2 +2/ncehBsjLLC2/

13、c= E21+ 罗（0-H212jlicehBs2jnc气亠丄2=力21etiBetiB+ L（T 1）=疋212jlicpc无磁场IPISafm = +lm = 0加二一1有磁场m - +1m = 0m 二-1m = 02P1S氐迁频率E iEnlmnTm2 2hE厂Enlm nVm co =h由此和选择定则Zl/ = 1 ，Am 0,1，215=0ehB知 CD COCO (D2/tc即2P1S朕迁频卒可取三个值a, 。谱线频率co :b, bf谱线频率:c, /谱线频率 =m = +1m = 0m = 102c二 0)2cf abfctl77.6 全同粒子的特征1.全同粒子有性质相同 的

14、粒子称为全同粒子有性质指的是质量.电荷、自旋同位旋、宇称、奇异数例：电子、质子.中子、超子.重子、轻子.微子同类核原子、分子2.不可区分4生经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分, 因各自有确定轨道。微观体系（粒子）,因为 运动具有波粒二象生，无确定轨道,在位置几率重迭处就不育W区分是哪个粒子。例如： 在电子双缝衍射实验中，考察两个电 子，无法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判 别屏上观察到 的 电子，哪个是通过哪条纟逢来的, 也无法判别哪个是第一个电子， 哪个是第二个 电子3.全同性原理由于全同粒子的不可区分丿I生，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同 粒子相 互交换（位置等）,不会引起系统状态的改变。几率分布不变：2肖