函数的极限重要极限无穷大与无穷小

1、第四节 函数的极限,一、函数极限的定义 二、函数极限的性质和计算 三、无穷小量与无穷大量 四、小结与思考判断题,一、函数极限的定义,本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形,函数的极限六种存在形式,即函数极限的两种主要形式如下,1.自变量趋于有限值时函数的极限,考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变化过程为,仿照数列极限的定义，给出 时函数的极限的定义,则,讨论单侧极限,函数

2、值无限接近于2,函数值无限接近于2,左极限,右极限,记作,左右极限存在但不相等,例1,证,结论,小结,注：分段函数分点处的极限， 要分 别求左极限和右极限,证明函数极限不存在的方法是,1)证明左极限与右极限至少有一个不存在,2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量 表示 及 ， 对正数 ， 表示 及,定义2 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作,另两种情形,结论,二、函数极限的性质,定理,定理(保号性,推论,3.局部保号性,定理1,极限

3、的四则运算法则,三、极限的运算法则,推论2,1）当时，而时,2）当时，而时,3）当时，而时,4）当时，而时,5）当时，而时,例1求,解,解：原式,例3 求,解: 原式,又例 : 求,极限存在准则,四、两个重要极限,1,注,此结论可推广到,注意,解,解,解,例4,解,解,因此,例5 求,解,例7 求,解,于是,练习,解,2,利用数列公式,用变量代换可求出,此结论可推广到,注,注意,解,例2,解,一般地,例3 求,解一,解二,解,例5,解,解,解,解,解,解,4,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在,思考题,求极限,思考题解答,无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,在实际应用中，经常会遇

4、到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,定义1,在x的某一变化过程中,函数f(x)极限为零,称f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小,当,例如,函数,当,时为无穷小,函数,时为无穷小,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆,3.零是可以作为无穷小的唯一的数,无穷小,证,必要性,充分性,意义,将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小,无穷小的性质,2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小,1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小,3）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,4）常数与无穷小的

5、乘积是无穷小,例1,解,二、无穷大量,记作,记作,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,意义 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,若,为无穷大,为无穷小,若,为无穷小, 且,则,为无穷大,则,定理3 在自变量的同一变化过程中,可得,解,例3,解,无穷小因子分出法,注,由于分子分母极限,注,先通分,后求极限,解,原式,练习,求,解,则,解,2.3.3 极限的复合运算法则,定理5 （极限复合运算法则变量代换法则,例5,解,三、小结,函数极限的统一定义,见下表,4.无穷小与无穷大是相对于过程而言的,1、主要内容,两个定义;四个定理,2、几点注意,1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆