第三讲向量的数量积的概念及运算

1、第三讲 平面向量的数量积一、知识点:1平面向量数量积的概念（1）与的数量积已知两个非零向量和，它们的夹角设为，则 叫做与的数量积（或内积），即 = ，并规定，零向量与任一向量的数量积为 。（2）平面向量数量积的几何意义数量积 = 的长度|与 的乘积。（3）由向量数量积的定义知：，当、 为非零向量时， 的符号由夹角的余弦来确定；当时，；当时，；当与至少有一个为零向量或时，2平面向量数量积的性质与运算律（1）平面向量数量积的性质设、 都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 当与同向时，；当与反向时， ；特别地， 或 （2）平面向量数量积的运算律（交换律） 3平面向量数量积的坐标表示（

2、1）若则 （2）设=（x，y）,则 （3）若向量的起点和终点坐标分别为，则 ，这就是平面内两点间的距离公式（4）设非零向量 4向量的数量积与数的乘法的区别（1）两个向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定。（2）当|0时，由不能推出一定是零向量。这是因为对任一与垂直的非零向量，都有（3）（4）一般地，这是由于和都是实数，而不一定共线。（5）对于实数、，有，但对于向量，有（6）根据向量的数量积的运算律可以证明：5（1）求两非零向量，的夹角；利用（2）计算向量的长度或平面内两点A、B间的距离二、基础练习1.已知向量与的夹角为，且，那么的

3、值为_; ;在上的投影是 ；2.在中，（1），则 （2）=90AC=4，则= ；（3）若，则 （4）P在平面ABC内，若，则P是的 3若，与的夹角为，则在方向上的投影 = 4.向量,则下列结论中正确的是（ ）A.= B. = C. D. 5.若是非零向量，且，则函数是( )（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数6给出以下四个命题：若，则、若是两个不共线的向量，且，则A、B、C共线若向量， 则的夹角为若向量满足，则的夹角为以上命题中，错误命题的序号是 7.如图，在ABC中，则= （ ）（A） （B） （C） （D）二、例题解析例

4、1 已知向量，其中，。求（1），；（2）例2已知=1，=，（）（+）=，求（1）与的夹角；（2）与+的夹角。例3.（1）已知，若，则实数 （2）已知，的夹角为，则 ； （3）.已知，的夹角为45则（1）= （2）若= （4）. 已知,点C在内，且.设，则等于（ ）A. B. 3C. D. （5）已知=为锐角，则的取值范围是 （6）已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是 。（7）已知平面向量（1）a与b的夹角是 。（2）的值是 。例4已知=1，=，（）（+）=，求（1）与的夹角；（2）与+的夹角。例5若单位向量，的夹角为，又与的夹角为，分别就下列条件求实数的取值范围 为锐角 为钝角 例6已知向量m=(cos,sin)和n=(-sin,cos),2.(1)求|m+n|的最大值； （2）当|m+n|=时,求cos()的值.例7已知向量，且，求（1）；（2）若的最小值是，求的值练习：已知，且，求（1）；（2）设，求的最值及相应的的值例8已知向量之间满足关系式：，其中0 (1)求将的数量积用表示的解析式（2）能否和垂直？能否和平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的值（3）求夹角的最大值例9已知向量，（1）若，求向量与的夹角（2）若对任意实数，都成立，求实数