角形三条高线交于一点的六种证明方法

1、三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知： ABC勺两条高BE CF相交于点0,第三条高AD交高BD于点Q,交 咼CF于点P。求证：P、Q 0三点重合证明：如图， BEL AC CF丄AB/ AEB = / AFC = 90又/ BAE = / CAF ABE s ACF.AB AE.AC AF 即 AB- AF = AC AE又 ADL BC AEQs ADC AFP s ADB AE = AD AL = APAD AQ，AD AB即 AC- AE = AD - AQ AB- AF = AD AP AB- AF = AC AE, AC- AE = A

2、D - AQ AB- AF = AD AP AD- AQ = AD - AP AQ = AP点Q P都在线段AD上点Q P重合 AD与BE AD与CF交于同一点两条不平行的直线只有一个交点 BE与CF也交于此点点Q P、0重合。证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知： ABC的两条高AD BE相交于点0,第三条高CF交高AB于点F,连 结C0交AB于点F。求证：CF丄AB证明：t ADL BC于 D, BE! AC于 E A B、D E四点共圆/ 1 = / ABE同理/ 2=/ 1/ 2=/ ABEt/ ABE+/ BAC= 90 ,/ 2+/ BA(= 90即

3、 CFL AB。注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明证明：如图6,以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A（0 ,a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件1 c1bc) , (b c)x 0kBE - , kcF-AD :x0(1)BE :yc(xab)(2)CF :y-(xac)(3)解(2)和（3)得(x b) (xaa则三条高的直线方程分别为:b c (b 0 , c 0)kAc akABa x 0这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点 注：有时候考

4、虑直角坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解决问题。 证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。 已知：AD BE。卩是厶ABC的三条高。求证：AD BE CF相交于一点证明：过点 A B C分别作BC AC AB的平行线ML MN NL AM/ BC MB/ AC四边形AMB（是平行四边形 AM=BC 同理，AL= BC AM=AL AD丄 ML AD是ML的垂直平分线同理，BE CF分别是MN NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点 AD BE CF相交于一点。注：三角形的三条中线（可中垂线、角平分线）相交于一点，这事实学生容 易理解，也不难证明，把证明三

5、角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三 角形的三条中线（中垂线）相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方 法必须让学生理解掌握。证法五：运用锡瓦（Ceva定理证明。已知：AD BE。卩是厶ABC的三条高。求证：AD BE CF相交于一点。证明：如图ADI BC于 E，BEL AC于.BD AB.BF CB同理，由 ADC sCE = CBCD CA， 由厶AFC sAF _ ACAE _ AB AEB三式相乘得BDBFAFFB(1) BEC得(2)(3)CECDAF ABAE CBCB AC1CA AB即 C!DC EA AD BE CF 相交于占。八、0注：锡瓦定理是证明共点线的有力工具,虽然中学不作要求，但对于学有余力的学生不妨引导他们自己研究，激发他们的学习兴趣锡瓦定理可以用梅涅劳（Menelaus）定理证明，而梅涅劳定理可以由平行线 分线段成比例定理轻松得到。在适当情况下适当的启发有利于学生思维的扩散, 有利于培养学生的创新能力。证法六 设 ABC三条高线为 AD BE、CF, AD与BE交于H,连接 CF。向量HA响量a,向量HB= 向量b,向量日。=向量c。因为AD丄BC BE丄AC所以向量 HA向量 BC=0向量HB向量 CA=0即向量a （向量c-向量b）=0 ,向量b （向量a-向量c）=0 ,亦即向量 a 向量 c-向量