高考数学一轮复习人教B版抛物线的标准方程与几何性质学案

1、名校名 推荐 考查角度 4抛物线的标准方程与几何性质分类透析一抛物线的定义与应用例 1 在平面直角坐标系xoy中, 设点 f, 直线 l : x=- , 点 p 在直线 l 上移动, r是线段 pf与 y 轴的交点 , rqfp, pql , 则动点 q的轨迹方程为.解析 由题意知 , 点 r是线段 fp的中点 , 且 rqfp, rq是线段 fp的垂直平分线 .|pq|是点 q到直线 l 的距离 , 又点 q在线段 fp的垂直平分线上 , |pq|=|qf|. 结合抛物线的定义 ,2可知动点 q的轨迹是以 f 为焦点 , l 为准线的抛物线 , 其方程为 y =2x.方法技巧 结合图形 ,

2、借助垂直平分线的性质进行适当的转化 , 得到该动点满足抛物线轨迹的条件 , 从而确定其轨迹方程 , 需要注意限定条件的应用 .分类透析二抛物线的标准方程例 2 已知抛物线 y2=2px( p0), 过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于a, b两点, 若线段 ab的中点的纵坐标为2, 则抛物线的方程为 () .a.y 2=4xb.y 2=- 4xc.x 2=4yd.x 2=- 4y解析 设 a( x1, y1), b( x2, y2), 由题意知抛物线的焦点坐标为f, 所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , 即 x=y+ , 将其代入抛物线方程得y2- 2py-p2 =0,所以=p=

3、2,2所以抛物线的方程为y =4x, 故选 a.方法技巧 确定抛物线的标准方程时 , 可以借助抛物线的几何性质 , 也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解 .分类透析三抛物线的几何性质与应用1名校名 推荐 例 3 如图 , ab是抛物线 y2=2px( p0) 过焦点 f 的一条弦 . 设a( x , y ),b( x , y ), ab的中点 m( x , y ),过 a, m, b分别向抛物线的准线 l 作垂线 , 垂112200足分别为 a , m, b , 则| | +| | 的值为 () .111a.b.pc.d. 2p解析 当直线 ab的斜率不存在 , 即与 x 轴垂直时, |f

4、a|=|fb|=p , | +| | = + = .当直线 ab的斜率存在时 , 设直线 ab的方程为 y=k -, 代入 y2=2px 中, 得-=2px, 即 k2x2 -p ( k2+2) x+=0.设 a( xa, ya), b( xb, yb),则 xa+xb=, xaxb=.|fa|=x a+ , |fb|=x b+ ,|fa|+|fb|=x a+xb+p, |fa| |fb|=xaxb+ ( xa+xb) + = ( xa+xb+p) .|fa|+|fb|=|fa| |fb| , 即 | +| = , 选 c.答案 c, 解题时 , 不方法技巧 该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的

5、一个重要性质可忽视 abx 轴的情况 .例 4设 f为抛物线 y2 =4x 的焦点 , a, b, c为该抛物线上的三点 , 若+ + =0,则| |+|+|=.解析 设 a( x1, y1), b( x2, y2), c( x3, y3),由题意知 ,(1,0),2因为+0,fp= .=所以 ( x1- 1) +( x2- 1) +( x3- 1) =0,即 x1+x2+x3=3,所以 |+|+|=x 1+x2+x3+ p=6.答案 6方法技巧 对于抛物线和平面向量相结合的题目 , 可以借助平面向量的坐标运算求解 , 需要注意平面向量的有关运算性质的运用 .2名校名 推荐 1. (2018

6、年全国 卷, 理 8 改编 ) 设抛物线 c: y2=2px( p0) 的焦点为 f, 过点 ( - 2,0) 且斜率为 1 的直线与 c交于 m, n两点 , 若 =4, 则 p=.解析 由题意得直线的方程为2,设点 m( x1 , y1), n( x2 , y2),y=x+则联立方程组消去 y 并整理 ,得 x2+(4 - 2p) x+4=0, 则 x1x2=4, x1+x2=2p- 4.因为=-,=-,所以=-= - - +y1y2=2x1x2+-( x1+x2) +4=4,解得 p=8( 其中 p=0 舍去 ), 故 p 的值为 8.答案 82. (2017 年全国 卷, 理 10 改

7、编 ) 已知抛物线 y2=2px( p0) 的焦点为 f, 过点 f 作互相垂直的两条直线ab, cd与抛物线分别相交于点a, b以及 c, d, 若+=1, 则四|边形 acbd的面积取得最小值时 , 直线 ab方程为 () .a.y= ( x- 1)b.y=x- 1c.y= 1-x d.y= 2x- 1解析 由抛物线的性质可知 | +| = ,又+=1, p=2, 即 y2 =4x.|设直线 ab的斜率为 k( k0则直线 cd的斜率为 - .直线 ab的方程为 y=k( x- 1),联立-2222消去 y, 得 kx- (2 k +4) x+k =0.从而 xa+xb=2+, xaxb=

8、1.由弦长公式得 |ab|=4+,3名校名 推荐 以 - 换 k 得 |cd|=4+4k2,故四边形 acbd的面积为 |ab| |cd|= 4 +4k2) =81 2 32 当k2=1 时取等号 ), 即面积的最小值为 32, 此时直线 ab的方程为答案 ay=( x- 1) .3. (2018 年全国 卷, 理 16 改编 ) 已知点 m(0,2) 和抛物线 c: y2=4x, 过 c的焦点且斜率为 k 的直线与 c交于 a, b 两点 . 若=4, 则 k=.解析 抛物线 c: y2=4x 的焦点为 f(1,0),当直线斜率不存在时 , 易知a(1,2),b(1, - 2), 则=1,

9、不合题意 . 当直线 ab的斜率存在时 , 设直线 ab的方程为 y=k( x- 1), a( x1, y1), b( x2, y2), 联立方程组整理得-k2x2- (2 k2+4) x+k2=0,则 x1+x2=2+ , x1x2=1,y+y =k( x +x ) -2- 1)(x2=-4.2k= , y y =k ( x- 1) =k x x - ( x +x ) +1121212121212又 =4, =( x1, y1- 2 x2, y2- 2) =4, 解得 k=- .答案 -1. (2018 湖北黄冈中学月考试题 ) 抛物线 x2=4y 的焦点坐标是 () .a. (0,2) b

10、 . (0,1) c. (2,0) d. (1,0)2, 即为 (0,1),故选 b解析 x=4y=2py, p=2, 焦点坐标为.答案 b2. ( 河北省衡水中学2018 届高三数学三轮复习系列七) 拋物线 y=2x2 的准线方程是() .a.x= b.x=-c.y= d.y=-解析 抛物线 y=2x2 可化为 x2= y, 焦点在 y 轴上 ,2 p= , = , 抛物线 y=2x2 的准线方程是 y=- , 故选 d.4名校名 推荐 答案 d3. ( 辽宁省凌源市 2018 届高三毕业班一模考试试题) 已知抛物线 c: y2=4x 的焦点为f, 点 a(0,-) . 若线段 fa与抛物线

11、 c相交于点 m, 则|mf|=() .a.b.c. d.解析 由题意得线段 af: y= x-0 x1 . 联立-解得m -. 又 =1, 所以 |mf|= +1= , 故选 a.答案 a4. ( 东北三省三校 2018 届高三第二次模拟考试试题) 过抛物线 c: y2=4x 的焦点 f 的直线交抛物线 c于 a( x1, y1), b( x2 , y2) 两点 , 且 x1+x2= , 则弦 ab的长为 () .a.b. 4c.d.解析 由抛物线的方程可得p=2. 根据抛物线的焦点弦公式x1+x2+p, 得弦 ab的长为 +2=. 故选 c.答案 c5. ( 河北省廊坊市第八高级中学201

12、8 届高三模拟试题 ) 若过抛物线 y= x2 焦点的直线与抛物线交于 a, b 两点 ( 不重合 ), 则( o为坐标原点 ) 的值是 () .a.b.-c. 3d.- 3解析 由题意知抛物线的方程为x2 =4y, 焦点为 f(0,1) . 设ab: y=kx+1, a( x1, y1 ), b( x2, y2), 由得 x2- 4kx- 4=0, 所以x1x2=-4, y1y2= ( x1 x2) 2=1, 故=x1x2+y1y2=-3, 选 d.答案 d6. ( 湖北省黄冈中学 2018 届高三 5 月第三次模拟考试 ) 已知点 p( - 1,4), 过点 p恰好存在两条直线与抛物线c有

13、且只有一个公共点 , 则抛物线 c的标准方程为 () .a.x 2= yb.x 2=4y 或 y2=-16xc.y 2=- 16xd.x 2= y 或 y2=- 16x解析 过点 p( - 1,4) 恰好存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点,5名校名 推荐 点 p一定在抛物线 c上, 即两条直线分别为一条切线 , 一条与抛物线的对称轴平行的直线 .若抛物线的焦点在x 轴上 , 设抛物线 c的方程为 y2=2px,则将点 p( - 1,4) 代入方程可得 2p=-16, 抛物线 c的标准方程为 y2=-16x; 若抛物线的焦点在 y 轴上 , 设抛物线 c的方程为 x2=2py,则将点 p(

14、- 1,4) 代入方程可得 2p= ,抛物线 c的标准方程为 x2 = y.综上所述 , 选 d.答案 d7. ( 山东省 2018 年普通高校招生 ( 春季 ) 考试 ) 已知抛物线 x2=ay( a0 的焦点为 f, 准线为 l , 该抛物线上的点 m到 x 轴的距离为 5, 且|mf|=7, 则焦点 f 到准线 l 的距离是 () .a. 2b. 3c. 4d. 5解析 因为 |mf|=7, 点 m到 x 轴的距离为 5, 所以 | | =7- 5, 故|a|= 8,|因此焦点 f 到准线 l 的距离是=4, 故选 c.8. ( 山西省 2018 年高考考前适应性测试 ) 已知抛物线 c

15、: y2=x, 过点 p( a,0) 的直线与c相交于 a, b两点 , o为坐标原点 , 若 0, 则实数 a 的取值范围是 () .a. ( - ,0)b. (0,1)c. (1, +)d. 1b( x, y ), 过点 p 的直线为 x=my+a,解析 设 a( x , y),1122联立消去 x 得 y2-my-a=0,y+y =m, y y =-a ,221212x1+x2=m( y1+y2) +2a=m+2a, x1x2=( my1+a)( my2+a) =a .=x x+y y2故选 b.2=a -a0, 0a0) 的焦9. ( 安徽省马鞍山市点 f 且斜率为 1 的直线交抛物线

16、于 a, b 两点 , |af| |bf|= 8, 则 p 的值为 () .a. 4 b. c. 1 d. 2解析 设 a( x , y),b( x2, 准线方程为, y ), 抛物线 y =2px 的焦点 f112222=0, x+x =3p, xx= .x=- , 直线 ab的方程为 y=x- , 代入 y =2px 可得 x - 3px+1122又6名校名 推荐 |af|=x 1+ , |bf|=x 2+ , |af| |bf|=x1x2+ ( x1+x2) +=+=2p2=8, 解得 p=2, 故选 d.答案 d10 ( 广西梧州市 2018 届高三 3 月适应性测试 ( 二模 ) 设

17、抛物线 : 2 2( 0) 的焦.c y = px p点为 f, 准线为 l , 过点 f 的直线与抛物线交于点 m,n, 与 y 轴交于点 (0,), 与 l 交于点 p, 点 m在线段 pf上, 若|pm|=2|mf|, 则|mn|=() .a.b.c. d.解析 由题意可得 m,2 = , p=2, 直线 mn的方程为 y=-( x- 1) . 由p-得 m, (3,-2), |mn|=, 故选 d.n答案 d11. ( 贵州省黔东南州2018 届高三第一次模拟考试 ) 过抛物线 c: y2=4x 的焦点 f 的直线交抛物线 c于 a( x1, y1), b( x2, y2) 两点 ,

18、以线段 ab为直径的圆的圆心为o1, 半径为r. 点 o1 到 c的准线 l 的距离与 r 之积为 25, 则 r ( x1+x2) =() .a. 40 b. 30c. 25d. 20解析 由抛物线的性质知 , 点 o1 到 c的准线 l 的距离为 |ab|=r.依题意得 r 2=25, 解得 r=5. 又点 o1 到 c的准线 l 的距离为 ( x1+x2+2) =r=5, 则有x1+x2=8, 故 r ( x1+x2) =40, 故选 a.答案 a12. ( 山西省太原市2018 届高三 3 月模拟考试 ( 一) 试题 ) 抛物线 y2=8x 的焦点为 f,设 a, b 是抛物线上的两个

19、动点 , |af|+|bf|=|ab| , 则 afb的最大值为 () .a.b.c.d.解析 设 a( x1, y1), b( x2, y2) .2抛物线 y =8x 的焦点为 f,f(2,0) .|af|+|bf|=|ab| ,由余弦定理得| - |cos afb=| |= | |- | | | - | |7名校名 推荐 |- |=| |- 1|- 1.=|又 |af|+|bf|=|ab| 2 | | ,|af| |bf| |ab| 2, 当且仅当 |af|=|bf| 时取等号 .| cosafb- 1=- , 而 0afb0) 上的点p到焦点 f 的距离为 2, 则 a=.解析 抛物线的标准方程为 y2=ax, 焦点坐标为, 准线方程为 x=- .由抛物线的焦半径公式 |pf|=x 0+ = + =2, 解得 a=2.答案 2) 已知抛物线的方程为 y2=2px, 其中14. (2018 年天津市南开中学高三模拟考试试题p