大学数学专业微分几何复习题

1、一、 填空题：（每小题2分） 向量具有固定方向，则=_。 非零向量满足的充要条件是_。 设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面是曲线在P点的_。 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是_。 曲线在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率=_。 在旋转曲面中，_是旋转曲面的经线。 曲面在点的法线方程是_。 直纹面的参数表示总可以写成 _。11、向量函数使的充要条件是 。 12、若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是 。 13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。 15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是 16、已知曲面的第

2、一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直的充要条件是 。 17、对曲面有，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t （t ）的弧长s = 。 18、若曲面在（0，1）点处的第二基本形式，则在（0，1）点处， 。其中为曲面的单位法向量。 19、已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。 20、若曲面的第一基本形式为，曲面在一点的切向与u线的夹角为，则曲面在这点沿切向的测地曲率= 。21 具有固定方向的充要条件是_。 22 挠率_的曲线其副法向量是常矢。 23 曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切面方程是 。 25 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。

3、 26曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为_。27半径为R的球面的高斯曲率K= .28. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。30在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。31.向量函数使的充要条件是 。 32、若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是 。 33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。 35、球面上， 线是球面上的纬圆。 36、已知曲面的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直的充要条件是 。 37、对曲面有，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t （t ）的弧长s = 。 38、若曲面在（0，1）点处的第二基本形式，则

4、在（0，1）点处， 。其中为曲面的单位法向量。 39、已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。 40、若曲面的第一基本形式为，曲面在一点的切向与u线的夹角为，则曲面在这点沿切向的测地曲率= 。二、 选择填空题：（每小题3分） 1、圆柱螺线在点的切线为_。A、 B、 C、 D、 2、曲面的三个基本形式之间的关系为_。A、+2H+K=0 B、-2H+K=0C、-2K+H=0 D、-2H-K=0 3、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_。A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 4、下列曲面中_不是可展曲面。A、柱面 B、锥面 C、一条曲

5、线的切线曲面 D、正螺面 5、曲面上， 不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长6、曲线在P(s)点的基本向量是，曲率k(s)，挠率，则下式 不正确。A、 B、 C、 D、 7、曲面在P点的第一、第二基本形式分别为，曲面上曲线(C )在P点的曲率k、沿切向的法曲率为，(C )在P点的主法向量与曲面的单位法向量的夹角为，则下式 正确。A、 B、 C、 D、8、L = N = 0 是曲面的曲纹坐标网为 的充要条件。A、正交网 B、渐近网 C、曲率网 D、 半测地坐标网9、在圆柱面上，圆柱螺线是 。A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线10、以下各项中， 不一定是测地线。A、球面

6、上的大圆 B、圆柱面上的螺旋线 C、旋转曲面上的经线 D、旋转曲面上的纬线11、设曲面在一点的单位法向量，切向量为 ，则的充分必要条件是 。A、 存在方向使 B、存在方向使 C、存在方向使且 D、沿有= 012、对于球面，以下判断中 不正确。 A、 沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面 B、其上大圆是渐近线C、高斯曲率为正常数 D、其上大圆的每一点的测地曲率为零13、曲面上，曲线(C )在P点的基本向量是，曲面在P点的单位法向量，则在P点沿切向的测地曲率 。A、 B、（） C、 D、 14、若在曲面上一点,则曲面在该点的高斯曲率K 。A、0 B、 0 C、= 0 D、符号不确定 15、下列

7、直纹面中， 是可展曲面。A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面C、挠曲线的切线曲面 D、单叶双曲面16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是_。A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线 17、曲线在P(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子_不正确。A、 B、 C、 D、 18、对于曲面的第一基本形式_。A、 B、 C、 D、 19、对于圆柱面，以下结论_是不正确的。A、坐标网是正交网 B、沿同一直母线的切平面是同一个C、其上高斯曲率为零 D、其上没有抛物点 20、以下结论正确的是_。A、法曲率是法截线的曲率 B、法曲率是曲率向量在主法向量上的投影C、法曲率0 D、法曲率的

8、绝对值是法截线的曲率 21、设曲面是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，_是不正确的。A、 B、 C、 D、 22、球面上的大圆不可能是球面上的_。A、测地线 B、曲率线 C、法截线 D、渐近线 23、正螺面的坐标网不是_。A、正交网 B、共轭网 C、渐近网 D、半测地坐标网 24、曲面上每一点处的主方向_。A、只有一个 B、至少两个 C、只有两个 D、也可能不存在 25、下列直纹曲面中，_是可展曲面。A、双曲抛物面 B、挠曲面的副法线曲面C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面三、计算题1、设曲线： = cht , sht , t ，求在点(1,0,0 )的曲率和挠率；的切线曲面的高斯曲率。

9、2、已知圆柱螺线，试求 在点的切线和法平面。 曲率和挠率。3、对于圆柱面，试求 的第一、第二基本形式； 在任意点处沿任意方向的法曲率； 在任意点的高斯曲率和平均曲率； 试证的坐标曲线是曲率线。4、求曲面的u线的测地曲率。5、设点P是曲面上一个固定点，试证明在P点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。6、设曲面：= t cos , t sin , t ，求 的第一、第二基本形式； 在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率； 试证的坐标曲线是曲率线。7、求螺线上点的曲率和挠率。8、确定螺旋面上的曲率线和在任一点的高斯曲率。9、求曲线(t) = t , t 2 , e t 在t = 0点的密切平

10、面和主法线。10、求曲线(t) = a (1sint) , a (1cost) ，b t 的曲率和挠率。求抛物面z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。11、求平面族的包络。三、 证明题：1、 证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。2、 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。3、试证锥面是可展曲面，并证明它与平面成等距对应。4设曲线：= (t)上每上点的切线都平行于同一个固定平面，试证明是平面曲线。5、设点P是曲面上一个固定点，试证明在P点沿任意互相垂直的两个方向的法曲率之和是常数。6、证明曲面是可

11、展曲面。7、证明：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面。8、证明；如果曲面上非直线的测地线为平面曲线，则它必为曲率线9、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这条曲线是直线或平面曲线。10、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。一、填空题1. 曲线x=cost，y=sint, z=t在t=0处的切线方程是_。2. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是_不变量。3. 若点(u0, v0)为曲面的正常点，则在(u0, v0)满足_。4. 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的_。5. 若向量函数满足，则具有固定的_ .6. 曲线的正常

12、点是指满足_ 的点.7. 椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是 _ .8. 平均曲率H=0的曲面称为 _ 曲面.9. 曲面上的直线必是_曲线.10.向量函数具有固定方向的充要条件是 .11.曲线的主法向量的正向总是指向 .12.在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 .13.曲面三个基本形式之间有关系式 .14.曲线的曲率定义是_。15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_。16.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_。17.曲线=t3-t2-t, t2-2t+2, 2上的点不是正常点的是t =_。18.曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件

13、是_。19.极小曲面是指_的曲面。20.向量函数具有固定长的充要条件是_。21.曲线的挠率是_。22.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_。23.向量函数平行于固定平面的充要条件是_.24.以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,_,平点.25.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的_的最大值和最小值.26.球面=a cosv cosu, a cosv sinu, asinv 的坐标曲线就是_。27.曲面上曲纹坐标网是正交网的充要条件是_。28.两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是_。29.在曲面的椭圆点处，高斯曲率_。(这个空填符号，即填“大于零”、“等于零

14、”、“小于零”)30.一般螺线的曲率和挠率的关系是_。31.曲面上曲线的交角作为曲面的内蕴量是_参数变换下的不变量。32. 曲面域的面积作为曲面的内蕴量是_参数变换下的不变量。33. 设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的_。34. 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是_。35. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的_曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的_方向. 36. 距离单位球面球心距离为d (0d1)的平面与球面的交线的曲率为_，法曲率为_ . 37. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 , 坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是 . 38. 曲

15、率为0的曲线是_, 挠率为0的曲线是_. 39. 半径为R的圆的曲率为_, 半径为R的球面的法曲率为_. 40. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_, 坐标曲线网成为曲率线网 的充要条件是_.41. 圆柱面的高斯曲率为_, 极小曲面的平均曲率为_. 42. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足_, 把第二类基本 量L=M=N=0的脐点称为_. 43. 法曲率的最大值和最小值正好是_, 使法曲率达到最大值和最小值 的方向是_方向.二、 单项选择题 1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( ) A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面上曲线的测地曲率 C. 曲面上测地三角形的内角和 D. 曲面的高斯曲率

16、 3. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角为 ( )4. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 ( ) A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 5. 过空间曲线C上点P（非逗留点）的切线和P点的邻近点Q的平面，当Q沿曲线C趋于点P时，平面的极限位置称为曲线C在P点的 ( ) A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在6. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( ) A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 7. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 ( ) A. 脐点处，任何方向都是主方向 B. 非脐点处，主方向垂直 C. 脐点处，无主方向

17、 D. 非脐点处，有且仅有两个主方向8. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( ) A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面域的面积 C. 曲线的弧长 D. 高斯曲率9. 下面说法不正确的是 ( ) A. 等距变换一定是保角变换 B. 保角变换一定是等距变换 C. 平面与圆柱面成等距对应 D. 平面与除去北极外的球面成保角对应10. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面 （ ） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 垂直11. 两个曲面等距等价的充要条件是经过适当的参数选择后， （ ） A. 第一基本型相同 B. 第一基本型成比例 C. 第二基本型相同 D. 第二基本型成比例12. 在选取曲率线网作为参

18、数曲线网时，曲面的两个主曲率k1, k2为 （ ）13. 设曲面的第一、二类基本量为和，则曲面的面积为 A. ； B. ；C. ； D. 14. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ） A. 平面曲线 B. 圆柱螺线 C. 直线 D. 以上全是15. 下列关于主方向, 正确的说法是 ( ) A. 曲面上一点处至少有两个主方向 B. 除脐点处外, 主方向是互相垂直的C. 沿主方向, 法曲率达到最大值或最小值D. 以上全正确16. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( ) A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面上曲线的法曲率 C. 曲面的平均曲率 D. 曲面的高斯曲率17. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 (

19、)A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线18. 在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足 ( )19. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 （ ）20反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉(Euler)公式是 （ ）三、判断下列各题，正确的在题后括号内打“”，错的打“”。1. 曲线上的正常点是指曲率不为零的点。( )2. 如果两条曲线在对应点的主法线互相平行，则在对应点处的切线互相平行。( )3. 高斯曲率和平均曲率都是曲面的内蕴量。( )4. 密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线。( )5. 若给出闭区间上的任意两个连续函数,则必存在曲线以分别为它的曲率和挠率.( )6. 曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F=M=0.( )7.