高等数学(工本)复习资料

1、全国高等教育自学考试内部资料高等数学内部讲义 高等数学工本 核心题型 典例精析1 设向量与垂直，则 ( ) A4 B-4 C10 D-10【解析】两向量与垂直的充要条件是由题意知 =0，故选D典例精析2 方程表示的图形是 ( )A.椭球面 B椭圆抛物面C椭圆锥面 D单叶双曲面【解析】方程（其中)所表示的曲面为椭球面，方程表示的为椭圆抛物面方程表示的为椭圆锥面方程表示的为单叶双曲面，故由此可知为椭球面故选A.典例精析3 过点（2，3，-4）且垂直于平面的直线方程是 ( )ABCD.【解析】平面的法向量，因为直线垂直于该平面，故该直线的方向向量故取v=2，3，-1，因此直线的方程为,故选C典例精析

2、4 已知,求(1)；(2) 的夹角；(3) 上的投影.【解析】(1) =(2)设夹角为，那么(3)在上的投影为典例精析5 已知向量，试求向量，使且【解析】设解得或向量或典例精析6 求直线与平面的交点【解析】所给直线的参数方程为，代人平面方程中，得 解方程，得，把求得的值代入直线的参数方程中，得，即得所求交点的坐标为(1，2，2)典例精析7 设函数在点的某邻域中有定义，则下列结论正确的是( )A若都存在，则在占处连续B若都存在，则在占处可微C若都不存在，则在点处不连续D若都在点处连续，则在点处连续【解析】本题考查二元函数在某点的性态函数在点处可微的必要条件是在点处的两个偏导数都存在，而函数在点处

3、可微的充分条件是的两个偏导数在点处连续又因为可微必连续，故选项D正确典例精析8设函数，则点(0，O) ( )A是的极小值点B是的极大值点C不是的驻点D是的驻点但不是极值点【解析】本题考查函数在某点是否取极值点，则所以，所以(O，O)点不是的极值点，是的驻点故选D典例精析9 函数在点M(l，2，-2)处的梯度为【解析】本题考查函数在某点处的梯度，所以所以函数在点M（1，2，-2）处的梯度为典例精析10 曲面在点(1，2，O)处的切平面方程为【解析】本题考查曲面在某点处的切平面方程令，则在点(1，2，0)处，所以切平面方程为即 .典例精析11 求由方程确定的隐函数的导数或偏导数.【解析】本题考查隐

4、函数的导数设则故典例精析12 求函数在点(1，1)处，沿与轴正向成角的方向的方向导数【解析】本题考查函数在某点处的方向导数又故典例精析13 造一个容积为的长方体水箱，应如何选择水箱的尺寸可使得用料最省？【解析】本题考查极值的求解设水箱的长、宽、高分别为容积为V，表面积为S，则有令解方程组得可疑极值点(3，3，3) 因实际情况表面积S必存在最小值，而可疑点只有一个，故当水箱的长、宽、高都取3米时表面积最小，从而用料最省典例精析14 设二次积分则交换积分次序后得 .【解析】本题是有关多元函数二次积分的交换积分次序的问题二次积分的积分区域D如右图阴影部分，故典例精析15由曲线所围成的图形的面积S=

5、( )ABCD.【解析】本题考查二理积分极坐标的计算由题意知曲线所围成的图形如图所示令其中所以由曲线O所成的图形的面积故选C典例精析16 二重积分，其中D是由直线及所围成的闭区域，画出积分区域并计算。【解析】本题考查二重积分的计算.D如右图所示原式典例精析17 计算三重积分其中是由平面上的曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域【解析】本题考查三重积分的计算如右图所示，平面上曲线绕轴旋转而成的曲面方程为，故是由曲面及平面所围成的闭区域当0z5时，平面与相交的区域为于是典例精析18因，所以 ( )A因与在原点不存在，故对任意的B对任意闭曲线C，I=0C在C不合原点时，I=0D在C含原点时I=O

6、，不合原点时IO【解析】本题考查曲线积分的计算.设C是不包含原点的任一光滑闭曲线，由于在不包含原点的任一连通区域内都有连续偏导数，且所以典例精析19设L是圆周这个圆周取逆时针方向，则曲线积分= . 【解析】本题考查曲线积分的计算由格林公式知，所以典例精析20 计算的值，L是【解析】本题考查曲线积分的计算L的参数方程为则典例精析21计算是旋转抛物面：部分的外侧【解析】本题考查曲面积分的计算其中：前半抛物面前侧，:后半抛物面后侧它们在面上投影区域为由对称性知，又在Oxy面的投影区域且投影的符号为负，因此，故典例精析22计算其中为球面的外侧【解析】本题考查曲面积分的计算因为球面方程为，故在其上任意一

7、点(x，y，z)处的单位法向量为于是，典例精析23 设函数是二阶常系数线性微分方程的一个特解，则常数及该微分方程的通解为 .【解析】将代入得：即该方程为对应的齐次特征方程的根为2，所以通解的通解为典例精析24 微分方程满足初始条件的特解为【解析】将所给微分方程改写成即所以，所给微分方程通解为由得满足初始条件的特解为典例精析25求解方程【解析】本题考查微分方程的求解此方程对未知函数来讲不是线性方程，如将其改写为：上述方程是以为未知函数的一阶线性微分方程，故即为原方程的通解典例精析26 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：【解析】本题考查微分方程的求解与原齐次方程对应的特征方程为此方程的解为故所给方程的通解为把初始条件代人上面两式解得故所求特解为典例精析27设无穷级数收敛，则( )ABCD.【解析】本题考查级数敛散性的判定，由级数收敛的条件可知，当，即时，级数收敛，故选D典例精析28 设是周期为的周期函数，它在上表达式为，是的傅里叶级数的和函数，则= .【解析】本题考查傅里叶级数的和函数，因为是的