必修四向量减法运算及其几何意义

1、向量减法运算及其几何意义学习目标1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.2.明确相反向量的意义，能用相反向量说出向量相减的意义.3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算知识点一相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)(a)a；(3)a(a)0.(4)若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0.思考若abcd，则acdb成立吗？答案成立知识点二向量的减法(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量(2)法则：向量的减法运算也有平行四边行法则和三角形法则，这也正是向量运算的几何意义作差向量时，一定要注

2、意差向量的箭头指向被减向量思考如图，已知a，b，请你用平行四边形法则和三角形法则分别作出向量a，b的差向量ab.答案(1)利用平行四边形法则如图，在平面内任取一点O，作a，b，作b，以，为邻边作平行四边形OAEC，则ab.(2)利用三角形法则如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab.知识点三向量的模与向量加、减运算间的关系根据向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则可以解释|a|、|b|与|ab|、|ab|之间的关系，请你把下列结论补充完整：对于任意的两个非零向量a、b，都有：(1)当且仅当a、b共线同向时，|ab|a|b|，|ab|a|b|.(2)当且仅当a、b共线反向时，|ab|a|b|

3、，|ab|a|b|.(3)当a与b不共线时，向量a、b、ab或a、b、ab分别能围成三角形由三角形中任意两边之和(差)大于(小于)第三边知：|a|b|ab|a|b|.所以，对任意两个非零向量a、b总有|a|b|ab|a|b|.可以检验a或b为零向量时，上式中的等号成立经常利用该不等式判断向量模的范围思考若|a|1，|b|2，则|ab|的取值范围是_；|ab|的取值范围是_答案1,31,3题型一向量的减法例1如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量ab，cd.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d.则ab，cd.跟踪训练1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解如图所示，在

4、平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.题型二向量减法法则的运用例2化简下列式子：(1)；(2)()()解(1)原式0.(2)原式()()0.跟踪训练2化简：(1)()()；(2)()()解(1)()().(2)()()()0.题型三向量减法的应用例3如图所示，已知a，b，c，e，d，f，试用a，b，c，d，e，f表示，.解ca，da，db，bafc，fd，0.跟踪训练3如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.解四边形ACDE是平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.利用向量证明平面几何问题例4如图所示，O为ABC的外

5、心，H为垂心，求证：.证明作直径BD，连接DA、DC，则，DAAB，AHBC，CHAB，CDBC.CHDA，AHDC，故四边形AHCD是平行四边形，又，.1化简的结果等于()A. B. C. D.2如图所示，在ABCD中，a，b，则用a，b表示向量和分别是()Aab和abBab和baCab和baDba和ba3若菱形ABCD的边长为2，则|_.4在平行四边形ABCD中，_.一、选择题1在平行四边形ABCD中，等于()A. B. C. D.2下列等式中，正确的个数为()0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0. A3 B4 C5 D63在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是

6、()A.0 B.C. D.04设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|216，|，则|等于()A8 B4 C2 D15.如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.0B.0C.0D.06在平行四边形ABCD中，|，则有()A.0 B.0或0CABCD是矩形 DABCD是菱形二、填空题7已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则可用、表示为_8若向量a，b满足|a|8，|b|12，则|ab|的最小值为_，|ab|的最大值为_9边长为1的正三角形ABC中，|的值为_10已知a，b，若|12，|5，且AOB90，则|ab|_.三、解答题11若a0，b0

7、，且|a|b|ab|，求a与ab所在直线的夹角12.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试求：(1)|abc|；(2)|abc|.13 已知|a|8，|b|6，且|ab|ab|，求|ab|.当堂检测答案1答案B2答案B解析由向量的加法、减法得，ab，ba.故选B.3答案2解析2.4答案0解析原式()()000.课时精练答案一、选择题1答案A解析.2答案C解析根据相反向量的概念知正确，所以正确的个数为5.故选C.3答案C解析，0，A正确；，B正确；，C错误；，0，D正确4答案C解析由|216，得|4，|4，而|2|，故|2.5.答案A解析()0.6答案C解析与分别是平行四边形A

8、BCD的两条对角线，且|，ABCD是矩形二、填空题7答案2解析22()，2.8答案420解析当a与b方向相反时，|ab|取得最小值，其值为1284；这时|ab|取得最大值，其值为12820.9答案解析如图所示，延长CB到点D，使BD1，连接AD，则.在ABD中，ABBD1，ABD120，易求AD，|.10答案13解析|12，|5，AOB90，|2|2|2，|13.a，b，ab，|ab|13.三、解答题11解设a，b，则ab，|a|b|ab|，|，OAB是等边三角形，BOA60.ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA.a与ab所在直线的夹角为30.12.解(1)由已知得ab，又c，延长AC到E，使|.则abc，且|2.|abc|2.(2)作，连接CF，则，而aab，