高数习题册的答案

1、第一章函数 自测题一、填空题： 1.2.3.二、解答题1.因为，所以。而，故有。2.（1）。（2）（3）3.，我们有。因为在内单调增加，所以有，又因为为定义在上的奇函数，上式可改写为即 所以，在内单调增加。4.(1) ； (2) 。5.由题意可列出函数关系如下：6.设批量为件，每年需要进货次，由于均匀销售，库存量由件均匀地减少到0件，平均库存量为 件。一年的库存费为(元)，订货费为(元)。综上，我们有。7.设租金定为每天每套元，由题意，每天可以租出套客房，此时，每天的收入为。当元时，收入最大，最大收入为16000元，此时空出20套客房。8.设月利润函数为，由题意可列出函数关系如下：。9.由题意

2、可列出函数关系如下：10.(2)(3) 销售额的图形如下，经济意义是：当时销售额最大。11. (1) 由题意可列出函数关系如下：(2) 利润函数为 （3）(元)。第二章 极限与连续 自测题一、填空题： 对任意给定的，总存在使得当时，总有2. 3. 4. 5. 6. 7. 一，可去 8. 一，可去；二，无穷；一，可去。 9. 一，跳跃 10. 二，振荡二、解答题1. 证明 对于任意给定的，因为，所以总存在，使得当时，总有。对数列，当时，总有 所以，。 反过来未必成立，例如：。2. 解 (1) 左极限，右极限 (2) 极限不存在，因为。 (3) 3. 解 (1) 当时，为无穷小量，而是有界函数，所

3、以。(2) 。(3) 。 (4) 。(5) 。(6) 分子、分母同除以，可得。(7) ，根据无穷小量与无穷大量的关系可得，。(8) 分子、分母同除以，可得。(9) 利用等比数列的求和公式，可得。(10) 注意到 ，所以。(11) 先通分化简，。(12) 分子、分母同除以，得。(13) 当，所以。(14) 当，所以。(15) 当时，所以。(16) 。(17) 当，所以。(18) 当，所以。(19) 当，故。(20) 当，故。(21) 因为(无穷小乘有界函数)，所以。(22) 令，。(23) 。 (24) 。(25) (26) 。4. 证明 (1) 因为，所以有。由于，故。(2) 注意到下列不等式

4、：， 。利用两边夹准则，我们有。(3) 容易得到关系式，用数学归纳法可证。，所以数列是单调增加的有界数列，由单调有界数列必有极限可得，存在，设为。所以我们有 即 ，解得，因此 5. 解 当时，由题意知，时，是等价无穷小，所以可得时，因此有。6. 解 ，所以。7. 解 (1) 。(2) 为函数的间断点，且为第一类间断点。事实上，。8. 解 ，要使在处连续，只需在处既右连续又左连续。因为在是右连续的，只须在左连续即可。，由此解得，。三、证明题1. 证明 对任意给定的，要使，只要。故取，当时，有成立，所以。2.考虑辅助函数，在区间上满足介值定理的条件，所以至少存在一点，使得，即方程在区间内至少有一实

5、根。3. 证明 考虑辅助函数，显然在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得，即 。4.考虑辅助函数，显然在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得。即方程至少有一个小于1的正根。5.设，在区间上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可得，在区间上有最大值和最小值，又由介值定理得，对任意的，都有所以有 故 又由介值定理得，至少存在一点，使得 。6. 证明 假设在区间上的值变号，即存在，不妨设，使得异号，在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得。这与已知条件相矛盾。故在区间上的值不变号。7考虑辅助函数，在区间上连续，且，由介值定理得，至少存在一点，使得，即 。第三章

6、 导数、微分、边际与弹性 自测题一、填空题1. A 2. 充分 3. 4. 5. 6. 7. 8. ，。 9. 0.110601，0.11 10. ， 11. 460， 4.6，2.3，2.3 12. 增加，0.82二、解答题1. 解 (1) 。 (2) 。(3) 。(4) 。 (5) 。(6) ，所以有. (7) (8) . (9) . (10) (11) . (12) . (13) (14) . (15) (16) (17) (18) 2. 解 (1) ，所以。(2) ，所以，故。3. 解 根据导数的定义以及在处连续，我们有.4. 解 利用左右导数， 我们可以求得 5. 解 因为，利用极限

7、与无穷小的关系，我们有其中。由于在处连续，在上式两端取极限，可得利用导数的定义，我们有.6. 解 直线的斜率为，曲线在的切线的斜率为由已知条件，解得。所以切点的坐标为，切线方程为，即 。7. 解 求一阶导数、二阶导数得 ，相减，得8. 解 (1) ，所以(2) 设，则，利用Leibniz公式，得(3) (4) ，所以9. 解 (1) ，。(2) ， (3) ， 10. 解 (1) 由得 ，所以(2) 11. 解 当时，。因为，所以。12. 解 取，。由于得13. 解 边际函数为，弹性函数为。14. 解 (1) 需求弹性函数为。 (2) 。(3) ，所以价格上涨1%，总收益将会增加。收益函数为，

8、 ，所以当时，若价格上涨1%，总收益将增加0.67%.15(1)边际需求为，当时，价格加一个单位，需求量近似地减少24个单位。(2) 需求弹性为，。说明需求变动的幅度大于价格变动的幅度，当时，价格上涨1%，需求减少1.85%。(3) ，所以价格下降2%，总收益将会增加。所以当时，价格下降2%，总收益将会增加0.84%。第四章 中值定理及导数的应用 自测题一、填空题1. 2. 3. , 4. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 大，小 12. 13. 大 14. , 必要15. 一，二、求解题1. 解 (1) 。(2) 。(3) 设，则，两取极限，得，所以，。(4) 令，则 。2. 解 因为

9、在是右连续的，而所以在是左连续的，故在是连续的。3. 解 由于，所以极限存在。 因为求导以后的极限不存在，所以不能用罗必塔法则。4. 解 (1) (2) ，+00+极小值极大值0+极大值5. 解 (1) ，令得驻点为。二阶导数,有，为函数的极大值且，为函数的极小值且。(2) ，当时，；当时，。所以是函数的极大值点且极大值为。6. 解 ，容易验证是曲线的拐点，相应的函数值为，相应的切线的斜率为，从而得到相应的法线方程为，。由于法线过坐标原点，所以有。7. 解 ，函数二阶可导，且点为的拐点，所以有，即有关系式 。8. 解 求函数一阶、二阶导数得 ，列表如下：1(1,2)200凸增极小凸减拐点凹减因

10、为，所经曲线有水平渐近线9. 解 (1) ， 极大值为，极小值为。拐点坐标为渐近线：。(2) ，拐点坐标为：，极大值为：，铅直渐近线：,水平渐近线。10. 解 (1) ，在上的驻点为，计算可得：，所以函数在上的最大值为，最小值。(2) ，在的范围内有一个驻点，且为函数唯一的驻点，又为函数的极小值点，所以也是函数的最小值点，即。函数无最大值。(3) ，在的范围内有一个驻点，且为函数唯一的驻点，又为函数的极大值点，所以也是函数的最大值点，即。函数无最小值。11.(1) 利润.求导得，解得驻点为，即当商品的价格为时，有最大利润，最大利润为。(2) 收益函数，求导得，解得驻点为，即当产量为时，收益最大

11、，最大收益为，此时的价格为(3) 平均成本函数为，求导得(4) 由于商品分批购进，一年的采购费用为元。每批量为万件，由于销售是均匀的，库存量由万件均匀地减少到0件，平均库存量为万件，每年每万件的库存费用为500元，一年的库存总费用为元。于是总费用为令，解得。即分5批采购才能使总费用最小，最小费用为10000元。(5) 设分批购进商品，采购费为元。每批量为件，需贷款元，利率为元。(6) 设征税额为，利润为那么，令，解得，此时企业的利润最大，若按生产，征税额为令，解得，当时，征税额最大。三、证明题1. 证明 在区间上满足Lagrange定理的条件，应用Lagrange定理得因为，所以 。2. 证明

12、 对函数在区间上分别应用Rolle定理，得 与 对函数在区间应用Rolle定理，得3. 证明 引入辅助函数，显然在区间上连续，在内可导，且，由Rolle定理，至少存在一点，使得 即 。4. 证明 函数在区间应用Lagrange定理，得至少存在一点，使即 。5. 证明 在区间上考虑函数，由介值定理得，至少存在一点，使得，即至少有一个正根。 设有两个正根，因为，应用Rolle定理得，存在一点，使得，显然这样的是不存在的。故只有一个正根。6. 证明 作辅助函数，。，所以 ，特别 ，由此得。故。7. 证明 （1）在处二阶导数存在且连续，利用二次LHospital法则，可得 (2) 在处二阶导数存在，利用一次LHospital法则再用导数的定义，可