高中数学知识点总结_不等式的性质与证明

1、要点重温之不等式的性质与证明1在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a0,b0时，abanbn；当a0,bba2b2|a|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由或x2推得的应该是：0x（别漏了“00即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)3，分两段取倒数即03-f(x)或3-f(x)0得301h(x)b,则ac2bc2；若ac2bc2,则ab；若ab,cd则a-db-c；若ab,则a3b3；若ab,则若ababb2；若ab|b|；若abb且,则a0,bab0,则；其中正确的命题是 。迁移若abc且a+b+c=0，则：a2ab，b2bc，bc0,则|

2、x-a|m和|y-a|m是|x-y|2m的A充分而不必要条件， B必要而不充分条件C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件。解析：|x-a|m且|y-a|m，则|x-y|=|x-a+a-y|x-a|+|y-a|2m；而当m=4,x=9,y=2,a=2时，|x-y|=7m,|x-a|m和|y-a|m是|x-y|2m的充分而不必要条件,选A。举例2不等式|2x-log2x|0，不等式|2x-log2x|2x+|log2x|等价于：|2x-log2x|0log2x0x1 不等式的解集为（1，+)。巩固1a,b都是非零实数，下列四个条件：|a+b|a|+|b|；|a+b|a|-|b|； |a|-|b

3、|a+b|； |a|-|b|0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则的最小值为 。解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，a+b=1,=,当且仅当a=b=时等号成立。举例2正数a,b满足a+3=b(a-1),则ab的最小值是 ，a+b的最大值是 。解析：ab=a+b+32+3-2-3039，当且仅当a=b=3时等号成立。a+b=ab-3-3 a+b6, 当且仅当a=b=3时等号成立。注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。巩固1在等式中填上两个自然数，使它们的和最小。巩固

4、2某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为，第三年的年增长率为，这两年的平均增长率为，则（ ）ABCD迁移甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则：A甲先到教室 B乙先到教室 C两人同时到教室 D不能确定谁先到教室5比较大小的方法有：比差：判断“差”的正负，因式分解往往是关键；比商：判断“商”与1的大小，两个式子都正才能比商，常用于指数式的比较；变形：如平方（需为正数）、有理化（根式的和、差）等；寻求中间变量，常见的有0，1等；数形结合。用定义证明单调性的过程就是已知自变量的大小比较函数值的大小的过程。举例1

5、已知且，若则、的大小关系是（ ）AB C D解析：记x=, y=()2, 直接比较x、y的大小将大费周章，但： x=1,y=，xy，又0c1,。举例2 x0是x的方程ax=logax(0a1)的解，则x0,1,a这三个数的大小关系是 。xyO11P解析：显然方程ax=logax不能用代数方法研究。分别作函数y=ax及y=logax的图象如右，它们的交点为P（x0，y0）,易见x01, y0 1，而y0=logax0即logax01,又0aa,即ax02，p=,q=,则：Apq Bpq与p=q都有可能 Dpq与p0时,f(x)1；判断并证明函数f(x)的单调性。6放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）；利用基本不等式，如：；等；利用常用结论：下列各式中（） （）； （） ； () ； 举例已知a、b、c是ABC的三边长，A=,B=,则：AAB, B AB, CAB DAB解析：B=A巩固若nN,求证：迁移已知an=2n-1,数列an的前n项和为Sn，bn=,数列 bn的前n项和为Tn，求证：对一切自然数n，恒有Tn2。简答1巩固1