空间分析原理与应用：第五章空间回归分析

1、第五章 空间回归分析,5.1 一个回归例子,人均国内生成总值（GDP）与民主水平的关系 民主水平采用POLITY指数，它将国家按照一系列制度标准划分成不同的类型。-10代表最不民主的社会，10代表最民主的社会。,2002年世界各国民主水平与GDP,民主水平,人均GDP,回归方程：,OLS估计结果:,空间相关的探测,5.2 回归分析方法回顾,5.2.1 回归的含义,回归分析是用来研究一个变量（称之为被解释变量explained variable 或应变量 dependent variable）与另一个或多个变量（称之为解释变量 explanatory variable 或自变量 independ

2、ent variable）之间关系的一种分析方法。 例如研究商品的需求量与该商品的价格、消费者的收入以及其他同类商品的价格之间的关系。 通常我们用Y表示应变量，用X表示自变量。,回归分析是用来处理一个应变量与另一个或多个自变量的关系，但它并不一定表明因果关系的存在。两个变量是否存在因果关系，哪一个是应变量，哪一个是自变量是由正确的理论决定的。,需要注意的是具有因果关系的变量之间一定具有数学上的相关关系，而具有相关关系的变量之间并不一定具有因果关系。 例如：中国的国内生产总值与印度的人口之间具有较强的相关性（相关系数较高），因为二者都以较快的速度增长，但显然二者之间不具有因果关系。,回归分析的应

3、用,（1）通过已知变量的值来估计应变量的均值 （2）根据经济理论建立适当的假设并对其进行检验 （3）根据自变量的值对应变量的均值进行预测 （4）上述多个目标的综合,5.2.2 总体回归函数,例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩,家庭年收入与数学S.A.T分数,总体回归函数PRF,B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数(regression coefficients)。 B1又称为截距(intercept)，B2又称为斜率(slope)。斜率度量了X每变动一个单位，Y的条件均值的变化率。,Y的条件期望，可简写为E(Y),注意：回归分析是条件回归分析(conditional

4、 regression analysis)。,(2-1),随机总体回归方程(stochastic PRF) ui表示随机误差项(random error term)，简称误差项。,5.2.3 总体回归函数的统计或随机设定,(2-2),5.2.4 随机误差项的性质,（1）在解释变量中被忽略的因素的影响； （2）变量观测值的观测误差的影响； （3）其它随机因素的影响包括人类行为中的一些内在随机性；,5.2.5 样本回归函数,如何估计总体回归函数，即求参数B1、B2呢？,总体回归函数PRF,随机总体回归方程(stochastic PRF),(2-1),(2-2),如果已知整个总体的数据，如上例，问题

5、就比较简单，但在实际中，我们往往不能得到整个总体的数据，只有来自总体的某一个样本数据，我们该怎么做？,来自表2-1总体的两个随机样本,两个独立样本的回归线,总体回归线与样本回归线,.,.,.,.,.,.,e1,u1,Y1,A,en,un,X,Y,0,需求量,价格,5.2.6 “线性”回归的特殊含义,解释变量线性与参数线性,非线性举例：,1. 解释变量线性,2. 参数线性,非线性举例：,5.2.7 参数估计：普通最小二乘法,普通最小二乘法(OLS) 最小二乘原理 总体回归方程： 样本回归函数： 因而 最小二乘原理就是选择合适参数使得全部观察值的残差平方和(RSS)最小，数学形式为： (2-11)

6、,普通最小二乘法就是寻找使RSS达到最小时的参数作为参数估计值的一种方法。 利用极值原理可以得到：,(2-14) (2-15),正规方程,(2-12) (2-13),求解得到：,5.2.8 经典线性回归模型的假定（CLRM）,基本假定： 假定3.1 回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性的。模型形式如下： 假定3.2 解释变量X与随机扰动项u不相关。（X是确定性变量时自然成立。） 假定3.3 给定Xi，随机扰动项的期望为零。即,满足如下基本假定的线性回归模型称为古典线性回归模型(Classical Linear Regression Model, CLRM)。,假定3.4 同方差假定，即 假

7、定3.5 无自相关假定，即 假定3.6 回归模型是正确设定的。即实证分析的模型不存在设定误差或设定错误。,扰动项的条件分布,同方差和异方差的对比,自相关,ui,ui,ui,uj,uj,uj,a),b),c),.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,无自相关假定表明随机扰动项ui是纯随机的。,自相关的性质

8、： 自相关：在时间（如在时间序列数据中）或者空间（如在横截面数据中）按顺序所列观察值序列的各数据间存在着相关。或者简单说，序列自身前后期数据间存在相关性，称为自相关。,在古典线性回归模型中有这样一条假定：随机扰动项中不存在自相关。也即：,但是如果随机扰动项前后期之间存在着某种依赖关系，便产生了自相关问题。,(2-16),(2-17),(a),(b),(c),(d),ui,ei,ui,ei,ui,ei,ui,ei,t,t,t,t,自相关的后果,1.最小二乘估计量是线性无偏但非有效 2.OLS估计量的方差是有偏的 3.T检验和F检验失效 4.计算所得误差方差可能低估了真实方差 5.拟合优度检验失效

9、 6.预测的方差和标准差无效,5.2.9 OLS估计量的性质,OLS估计量b1、b2是最优线性无偏估计量.,OLS方法能够得到如此广泛的使用是有原因的。高斯马尔柯夫定理： 若满足古典线性回归模型的基本假定，则在所有线性无偏估计量中，OLS估计量具有最小方差性，即：,(3)最小方差性：即 b1的方差小于其他任何一个B1的无偏估计量的方差； b2的方差小于其他任何一个B2的无偏估计量的方差。,(1)线性：即b1和 b2是随机变量Y的线性函数。,(2)无偏性：即,5.3 空间自回归模型,5.3.1 空间回归思想 回归分析方法忽略了地理问题的空间性质，不能给出空间模式的有效描述，因此需要引入能够描述空

10、间自相关和空间非平稳性的项，克服回归模型的缺陷。 空间关系的描述需要借助空间权重（邻接）矩阵。,（4）,（3）,（5）,（2）,（1）,5.3.2 空间自回归模型的形式,5.4 地理加权回归模型,空间自回归模型的参数是全局性的，不符合空间异质性的特点，不同的局部上自变量和因变量之间的关系可能不同。地理加权回归模型（geographical weighted regression,GWR）使用与空间数据观测相关联的坐标位置数据建立参数的空间而变化关系，是一种面向局部关系建模的方法。,5.4.1 GWR模型及其估计方法 GWR模型一般有如下形式：,地理加权回归模型的拟合方法,权重的选择,带宽的选择

11、：,权重函数,带宽h,固定带宽 自适应带宽,5.4.2 GWR模型显著性检验 1）基于加权回归的全局回归检验,于是可以构造一个F检验的统计量为：,2）检验残差的空间相关性,于是检验空间自相关的P值分别为： PI=PH0(II0)和PC=PH0(CC0) I0和C0分别是I和C的观测值 如果忽略在任何位置上的y的拟合值的偏向，则Morans I和Gearys C可分别表示为：,案例：意大利投票率的空间依赖关系,按选区划分的投票率,人均GDP,计算MoransI统计量,选区50千米作为最近的邻近距离：各选区平均和17个相隔50千米的以内的区相连 人均GDP的MoransI 为0.86，投票率的Mo

12、ransI为0.79,回归分析,投票率对人均GDP对数的OLS回归,投票率对人均GDP对数的空间滞后回归,6.空间误差模型,空间误差模型将空间相关关系看作一种干扰。 空间误差模型假设模型的误差是空间上相关的，而不是yi对yj产生的直接影响。,如果按照误差项相互独立的假设来采用OLS估计：对方差 的估计将低估实际的方差，因为对方差的估计忽视了相邻观测值误差项的相关。此外，估计系数也并不必然是想要得到的有效估计值，也就是不接近真实值。 通过对空间连接矩阵特征值的最大似然估计来解决：,例子：,附录：多元回归参数的估计,与总体回归模型相对应的样本回归模型, (1) 样本回归方程: (2) 根据OLS原则,重写成： (3) 两边平方再求和, (4) 根据普通最小二乘原理