心理统计学第三章

1、第三章 第三章 集中量数第一节 算术平均数1第二节 中位数5第三节 众数8第四节 几何平均数和倒数平均数10第五节 SPSS实验均数、中数和众数14同步练习与思考题16问题已知某生数学期中和期末的成绩，又知期中期末的比重为4：6，则该生的学期成绩是多少？已知某年级各班的平均成绩及人数，其年级分数是多少？已知某地区或某校历年的招生人数，如何求其平均发展速度并预测未来的发展规模？如何计算心理与教育实验中被试的阅读速度、解题速度、识字速度、打字速度、记忆速度等？学习目标1识记和理解各种集中量指标的概念2熟练掌握各种平均指标的计算方法3掌握均数、中数和众数应用范围4了解几何平均数和倒数平均数的应用在实

2、验、测量或调查中获得的大量观测数据，具有一种向数据中央某一点靠拢的趋势，这种趋势在统计学中称为集中趋势（central tendency），它是数据分布的特征之一。用于描述观测数据集中趋势的量数称为集中量数。集中量数（central measures）是一组数据的代表值，用以说明一组数据分布的典型情况或一般水平，它比个别数据更能反映客观现象或事物的实际情况。集中量数还可以用于组与组之间的差异比较。譬如，某教师在两个平行班进行了传统教学法和多媒体教学的实验研究，通过一年实验后，观测到两个班级的平均成绩之间出现较大的差异。描述客观现象集中趋势的数量指标有算术平均数、加权平均数、中数、众数、几何平均

3、数和倒数平均数。第一节 算术平均数一、算术平均数的定义算术平均数（arithmetic mean）是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商。简称平均数、均数或均值。其符号系统既有表示样本平均数的数学符号和英文符号（Mean），又有表示总体参数的希腊字符。二、算术平均数的计算方法（一）定义式定义式即根据算术平均数的定义计算的平均数，因其采用原始数据直接进行计算又称为原量数计算法或计算式，其公式为 例3-1：10名学生的心理与教育统计成绩为68，77，63，79，70，79，70，79，86，80。试问这组数的平均数为多少？（二）加权式在定义式中，的系数或次数为1，其运算的基本思想是等量齐观

4、的，即各个参与计算平均数的观测值的重要性程度被视为同样重要的。然而，在实际中将各个观测值平等看待的做法并不完全合理。譬如，学校中各门功课大多有期中测验、平时测验、作业成绩、期末考试等。在计算和评价个体的学期成绩时并非将这几项成绩简单加和除以4，而是根据各种成绩的重要性程度的不同，规定不同的比例，以此说明它们在决定成绩多少时的重要性不一样，也就是要考虑加权的问题。在心理与教育的研究中，需要考虑加权的情形是非常多的，用比例、次数等来权衡各个观测值重要性程度而计算出的平均数称为加权平均数（weighted mean），简称加权式。1加权式的通式加权平均数是观测数据（）与其相应次数（）乘积的和除以总次

5、数（）所得的商，这是加权式的一般公式，即式中次数又称权重或权数。如例3-1用加权式计算方法如下。表3-1 加权平均数计算示例 86 80 79 77 70 68 63 1 1 3 1 2 1 12加权式的变式加权式用于不同的情况有不同的计算方法，如求总平均数、归一化的平均数、次数分布的平均数等均有不同的算法，但其基本方法均源自加权式的通式，均属加权式的变式。1）求总平均数已知各组平均数求总平均数时，并不是简单地以各组平均数之和除以平均数的个数。因为各组平均数的大小受各组人数多少的影响，所以需考虑人数权数的影响。总平均数（total mean）是以群组人数（）与群组平均数（）乘积的和除以总人数（

6、），其计算公式为例3-2：某校初三期末物理考试后，经初步统计得知一班55人的平均成绩为80.5，二班52人的平均成绩为78.2，三班56人的平均成绩为83。试问该年级的平均物理成绩是多少？2）归一化均数归一化加权平均数是指权数之和为1的加权平均数，其公式为式中为归一化权数。例3-3赵卓的数学成绩，平时为90，期中为84分，期末为83分，该学科平时、期中、期末分数之比为2:3:5。试问赵卓数学的学期成绩是多少？或3）求次数分布的均数组中值计算法当一群数据经整理形成次数分布后，原始数据（）已消失，代之而起的是分组及各组的次数。各组的代表量则以组中值表示，其平均数为各分组的次数（）与组中值（）乘积的

7、和除以总次数，计算公式为阅读材料：平均数的简捷式 在手工计算的时代，用组中值法计算次数分布的平均数数据量大，计算较麻烦，统计学家根据数学的性质创立了简捷法。根据每一原始分数同加或减一个常数则算术平均数的变化也同样加或减这个常数及每一个原始量数同乘或同除以一个常数则算术平均数的变化也同样是乘或除的这个常数的原理，可对平均数的计算进行简化，其公式为式中为简化值，为假设平均数，为组距。例3-4：57名学生的高等数学成绩分布如表3-2。计算过程：选择假设平均数（一般选次数最多，且位于中间组的组中值），本例确定简化值。简化值有一规律，即假设平均数所在组的值为0，大于假设平均数各组的值依次为1，2，3，；

8、小于假设平均数各组的则依次为-1，-2，-3，；由此，简化值可以直接按顺序书写而不需计算。计算各组次数与简化值乘积的和（）代入公式，计算平均数表3-2 简化平均数计算表组别85-898733980-8482821675-79771311370-7472150065-69679-1-960-64626-2-1255-59572-3-650-54521-4-4577三、算术平均数的性质性质一：一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积，即证明性质二：一组变量值的离均差之和等于零，即证明又 性质三：在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以

9、常数。性质四：一组变量值的离均差平方和最小，即最小证明：设为任意常数，且，则有第二节 中位数一群数据的集中趋势，除了可以用平均数来描述外，还可用其它数量表示。中位数就是其中的一种。一、 一、 中位数的意义中位数（Median）又称中点数，简称中数，用符号或表示。中位数是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数值，它是把一组数据按次数划分为两半，即在中位数上下的数据分布各占一半。例如有一组数据为3 ， 5，6，7，10，位于中央位置的数是6，而在它两侧各有两个数据分布。二、 二、 中位数的计算中位数的计算因数据形式不同而有不同方法，大致可分为原量数（即原始数据）计算法和次数分布计算法。（一）原量数

10、的计算法在一组原始数据中，要确定中数又需分两种情况进行。一是考虑数据个数是（N）是奇数还是偶数，二是考察靠近中数附近有无重复的数据（不在中数附近的重复数不作考虑）。1 1 中数附近无重复数时当中数附近无重复数时，视该组数据的奇偶性分别进行。若数据个数（N）为奇数时，先将数据从小到大排列顺序；再求中数的位置数，即；最后再由位置数确定中数。 例如有7个按大小顺序排列的数据2，5，7，9，11，12，15，其位置数为，即该数列中处于第四个位置的数就是中数，该中数为9。若数据个数（N）为偶数时，同样需将数据从小到大排列顺序，再求中数，即式中的和为位置数，根据位置数确定两个中间值，再求其平均数，该平均数

11、即为中数。例如有10个数据18，22，11，15，19，23，12，17，16，26。先按大小顺序排列数据11，12，15，16，17，18，19，22，23，26，则其中数为也就是说，数据个数为奇数时，中数是位于中间位置的量数；数据个数为偶数时，中数是位于中间位置两个量数的平均数。2 2 中数附近有重复数时当中数附近有重数时，确定方法较为复杂，需考虑重复数的影响。例如有11个数据2，3，4，4，6，9，9，9，10，14，17，若按奇数法确定中数则为第六个位置的数9。但是9共有三个，那么究竟哪一个点恰好是第一个9的中点值呢。我们可以假定9为连续数据，则它的实限为8.59.5，即在这个数据段中

12、均匀分布着3个9，每一个9占数据段的1/3，即0.333，各段的值图3-1所示。因为中数在第一个9上，而第一个9的数据范围为8.50至8.833，其中数的代表值则为两数的中间值8.67。 第一个9 第二个9 第三个98.50 8.833 9.166 9.449图3-1 重复数9的分布上述结果也可以通过计算获得，其公式为式中为数值9的精确下限，为数据的重复个数，为可能的中数（此处为9）以下的累积次数，中数所在位置，所以上列为 若数据经整理形成了次数分布表，则求其中数的公式为 （用于由低分组向高分组累积次数时） （用于由高分组向低分组累积次数时）式中为中数所在组的精确下限，为中数所在组的精确上限；

13、为中数所在组次数；为中数所在组以下的累积次数，为中数所在组以上的累积次数；用于确定中数所在的组，根据在累积次数栏寻找包含的累积次数，其对应组即为中数所在组。如例3-4，求其中数。表3-3 中数计算表组别85-89357380-848541175-7913462470-7415333965-699184860-64695455-59235650-54115757 分析过程 求累积次数，由下往上累加或由上往下累加。 确定中数位置。本例为57，则有。 在累积次数栏中找包含28.5的累积次数并确定中数所在的组。因为本例累积次数33或39包含了28.5，所以中数所在组为70-74。 确定公式中各符号的内

14、容，有，代入公式计算中数解法一： 解法二 阅读材料：百分位数和四分位数中位数是一群数据最居中间的数，即50%位置上的数，它是百分位数（Percentile）的特例之一。除了可以确定一组数据50%位置上的数以外，还可以确定任一百分位置上的数。假设任意一个百分位为 ，根据中数公式则可推出百分位数的公式，即有求例3-4次数分布表中30%和85%位置上的数，计算步骤如下。 确定百分位置及百分位数所在的组。30%的位置为，其所在组为65-69；85%的位置为 ，其所在组为80-84。 确定有关数值30%时：， 85%时：，结果表明有30%的人其测验分数低于69分，或者说分数低于69分的人占30%.，换句

15、话说高于69分的人占70%。同理，低于81分的人占85%，或高于此分数的人仅占19%。百分位数在教育测量和心理测量中用于百分量表的建立。百分位数的另一特殊情况是四分位数，即四分之一位置和四分之三位置上的数，其公式为第三节 众数一、 一、 众数的定义众数（Mode）是指一群数据中出现次数最多的那个数值，又称范数，用符号表示。例如有一组数据3，5，8，10，10，10，11，15，15，16，其众数为10，因为在这组数据中10出现的次数最多。二、 二、 众数的确定方法众数的确定方法大致分为观察法和计算法两种。（一）观察法对于一群数量较少原始数据可以根据众数的定义直接采用观察法来确定众数，即以次数最

16、多的数值为众数。如果数据经过整理形成了次数分布表，则可以确定次数最多一组的组中值为众数，如例3-4中次数最多的组为70-74，其众数为72。观察法所确定的众数是非常粗略的，故又粗略众数，一般不宜多用，即使采用了，解释时也要非常慎重。（二）计算法从理论上来说，众数是与次数分布理论曲线最高点相对应下的横坐标上的一点，但是理论上的众数求解方法太复杂，而粗略众数又太不稳定，折中的方法是常采用经验公式来寻找理论众数的近似值。常用的经验公式是皮尔逊经验公式和金氏插补公式。1皮尔逊经验公式。英国统计学家皮尔逊（K Pearson）研究发现，均数、众数、中数之间存在着一定的联系，当一组数据的分布呈正态分布或近

17、似正态分布时，众数会近似地等于三倍的中数减去2倍的均数，即有 如例3-4，均数为72.61，中数为73，则其众数为 2、金氏（W I King）插补法。如果众数所在组以上各组次数的总和与以下各组次数的总和相差较大时，即次数分布呈偏态分布时需用金氏插补法，其公式为 式中为众所在组的精确下限，为众数所在组上一组的次数，为众数所在组下一组的次数。例3-5：某大学数学系106名学生在一次概率论的考试中成绩分布如表3-4所示，试问其众数是多少？表3-4 106名学生概率论考试成绩次数分布表90-9485-8980-8475-7970-7465-6960-6455-5950-541351521261810

18、7106由上表可知，次数出现最多的组为65-69，共26次，故有，四、均数、中数、众数的关系与应用（一）均数、中数、众数的关系均数、中数、众数的大小与次数分布的形态有关。当次数分布为正态分布时，均数、中数、众数落在横坐标上重合为1点，三个指标值相等，即当次数分布为偏态分布时，中数居于众数与均数的中间，且均数与中数的距离约占均数与众数的距离的三分之之一，中数与众数的距离约占均数与众数距离的三分之二，即 正偏态分布时，；负偏态分布时，详见图3-1所示。图3-2 不同分布均数、中数与众数的位置（二）均数、中数、众数的比较与应用作为度量数据分布集中趋势的指标，均数、中数、众数各有其特点和用途。在实际应

19、用中究竟选用哪种指标比较合适是由所研究问题本身和集中量数各自的特点所决定的。作为优良集中量数应当具备六个条件，一是感应灵敏，即一群数据中任何一个数值的变动都会影响集中量跟着一起变动；二是严密确定，即该集中量指标应由全部观测值计算得来，而且同一组数用该指标不同计算方法计算出结果相同，如用定义式或计算式或加权式计算的结果相同。三是意义简明，易于理解，即其方法不应带有过多的数学抽象性质。四是容易计算，即在其他条件相同的情况下，则以计算简便作为选择的依据。五是适合代数法则的处理，即可以用数学性质处理或简化数据。六是受抽样变动的影响较小，即从同一总体中抽取的多个样本，其各样本的计算结果相同。均数、中数、

20、众数的优缺点及应用详见表3-5。表3-5 均数、中数、众数的优缺点及应用比较表均 数中 数众 数优点1符合优良集中量的2已知和，即可求3便于进行加权处理4统计推断的结果更可靠、稳定1符合优良集中量的2少受极端数值的影响1符合优良集中量的应用1加权平均数2离差、相关计算，进行统计推断3考试评估1有极端数值时2测量单位的性质有怀疑3上下端距离不确定4采用百分体制时1粗略估计数据的集中量2出现多峰分布时不足1易受极端值的影响2组距不确定时无法计算1易受抽样偏差影响2不适合代数法处理使用价值很少第四节 几何平均数和倒数平均数一、几何平均数（一）几何平均数的定义 几何平均数（geometric mean

21、）是几个变量值乘积的次方根，用符号或表示。设，为变量值，为变量值的个数，表示连乘积的符号，则有开次方是一种麻烦的计算，在实际中应用中有两种主要方法，一是利用计算器直接开次方；二是利用常用对数进行计算，即在公式两边取常用对数。几何平均数在使用上有着特殊的前提，一般来说变量值为比率，且各比率用环比形式表示时使用。（二）几何平均数的应用 1偏态分布。当一个数据分布呈偏态时，可以用几何平均数来描述数据的集中趋势，因为它受极端值的影响小于算术平均数和调和平均数。虽然中数也可处理偏态分布的情况，但是它并不是以全部数据作为计算的内容，缺乏严密确定性。例如有一群数据为2，4，5，5，7，10，35，用均数、中

22、数和几何平均数计算出来的结果是不同的，其中均数的计算结果最大，有高估集中趋势的倾向；中数的计算结果最小，又有低估集中趋势的倾向；而几何平均数居中，代表性较好。 2心理物理学等距或比率量表的实验数据例3-6：一心理学工作者研究介于和之间的感觉刺激是多少。他随机抽取6名被试，让他们调节一个可变的物理刺激，使所产生的感觉刚好处于和之间，并测量了所调节刺激量。6名被试的实验结果为，求介于和两种感觉之间的平均刺激量。3计算平均增长率、进步率、提高率等在一组数据中，若后一个数据以前一个数据为基础或呈现比率增长时，需用几何平均数来求其平均增长率。在教育与心理的研究中，研究诸如如学龄儿童、学校人数的增长率，学

23、校经费的增加率，学习或阅读水平或能力的进步率、提高率等等均需用到几何平均数。求平均增长率、进步率等，首先需了解并掌握有关发展速度和增长速度等有关概念及其计算方法。发展速度是以报告期的发展水平（）除以基期的发展水平（）乘以百分之百，即增长速度则用发展速度减去1。发展速度是比较不同时期的同一现象，用以表明同类现象在不同时期的变动或发展程度，又称动态相对指标。具体来说，它是用两个不同时期发展水平的对比而获得的，说明报告期水平已发展到或增加到基期水平的若干倍（或百分之几）。发展水平则是反映教育或心理现象在各个时期所达到的规模或水平，它是时间序列中的每一项具体指标数值。例3-7：某师范大学教科院1995

24、年本科生的招生人数为66人，2004年的招生人数为157人，求1995年到2004年本科生的发展速度和增长速度。发展速度 增长速度由于所选用的基期水平不同，发展速度又分为定基发展速度和环比发展速度，简称定基比和环比。定基比是以某一固定时期作为基期，其它时期则为报告期所进行的比较。定基比用以反映现象在报告期水平较某一固定时期水平发展的相对程度，表明现象在较长时期内总的发展速度，故又叫总速度，用式子表示为定基发展速度=环比是本时期为报告期，前一期为基期所进行的比较，用于反映现象在报告期的水平较前一期水平发展的相对程度，表现的是现象逐期的发展程度，用式子表示为环比发展速度=如某校教科院2000年至2

25、004年的招生人数如下，其定基比和环比结果见表3-5。表3-6 教科院招生人数的发展速度年份招生人数定 基 比环 比2000140()2001142() 101.4 101.42002151() 107.9 106.32003162() 115.7 107.32004157() 112.1 96.9为了说明某一现象在时间上的发展变化情况，往往是定基比和环比一起使用。这样，不仅能看出相临时间上的变化，而且还能看出一个时期内发展变化的总趋势。如上例，从环比结果看，后一年比前一年的发展速度分别为101.4%，106.3%，107.3%，96.9%，逐年之间招生人数是波浪起伏的，有时多有时少。从定基比

26、的结果看，尽管各年招生人数有多有少，但总起来看还是逐年增加，四年累积发展速度为112.1%。，虽然2004年比2003年少了5人，但仍为2000年的112.1%，增长了12.1%。在教育与心理研究中，最终需要根据发展速度和增长速度来分析现象的平均发展速度与平均增长速度。平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均程度，它表示心理与教育现象逐期发展的平均速度，即式中为环比值的个数。例3-8：李铜为了增加英语词汇量坚持每天记忆英语单词，结果发现第一周记住了18个，第二周记住22个第三周记住了28个，第四记住31个，第五周记住了35个，第六周记住了40个。试问李铜记忆英语单词的平均进步率是多少？表3-7

27、 英语单词记忆量的环比发展速度第1周第2周第3周第4周第5周第6周单词记忆量182228313540环比发展速度1.221.271.111.131.14 或 平均增长速度反映现象递增的平均速度，为平均发展速度减去1（即）。本例平均进步率为，即李铜记忆英语单词量的平均进步率为17%。平均发展速度总是正值，但是平均增长率则有正有负，正值表明现象在一定发展阶段内逐期平均递增的程度；负值则表明现象逐期平均递减的程度，又称负增长。4发展水平的预测根据平均发展速度和平均增长速度可以进行各种发展水平的估计，如各期发展水平的估算，若干年后发展水平的估计等等。1）各期发展水平的估算各期发展水平前期发展水平平均增

28、长速度前期发展水平例3-9：某综合性大学管理学院1995至2004年本科生招生人数的发展水平如表3-8所示，试推算各时期的发展水平。表3-8 某师范大学教科院历年招生人数发展水平表年度发展水平（学生数）环比发展速度增长速度各期水平估计值（根据平均增长率推算）956696971.470.47660.54971151.190.1978.540.1978.5493.46981341.170.1793.460.1993.46111.22991501.120.12111.220.19111.22132.35001981.320.32132.350.19132.35157.50012271.150.151

29、57.500.19157.50187.42022451.080.08187.420.19187.42223.03032861.170.17223.030.19223.03265.41043101.080.08265.410.19265.41315.8405315.840.19315.84375.85首先，计算平均发展速度，即有 其次，求其平均增长速度为 。 第三，求各期发展水平的估计值，详见表3-8。值得注意的是，各期发展水平的推算只有在连续不断地增长或减少的情况下才能利用几何平均数计算平均发展速度和平均增长速度，如果时而增长，时而减少则不宜采用此方法进行估算。2)若干年后发展水平的估计例3-

30、10：我国高校1978年的在校人数为86万人，如果以后每年以10%的速度递增，到2010年，我国的高校人数将达到多少万人？（万人）例3-11：若1978年我国高校在校人数为86万人，若按照每年平均增长10%的速度计算，高校在校人数要达到2000万人，需要多少年？（年）二、调和平均数 （一）调和平均数的定义调和平均数是指一群数据倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数，用符号或表示。其公式为（二）调和平均数的应用调和平均数（harmonic mean）在教育与心理研究中，主要用于求平均速度方面的问题，如阅读的平均速度、解题的平均速度、识字的平均速度、打字的平均速度、记忆的平均速度等等。除倒数平均数

31、外，算术平均数也可以求平均速度的问题，但是两者在具体应用时有所不同，有些情况下需要采用算术平均数，有些情况下则需要运用倒数平均数，若运用不当则会造成计算错误，对此应当特别注意。平均速度具有两层含义，一是表示单位时间内所做工作量，二是单位工作量所需的时间。因此，在实际应用中应视工作量与时间关系的搭配不同而选择正确的方法进行计算。1工作量相同，时间不等时，即工作量是固定的，但是完成工作量所用的时间不同。若求单位时间所做的工作量，应采用调和平均数；反之，若求单位工作量所需的时间应运用算术平均数。例3-12：一个学生阅读两页书，读前一页书的速度折合为每小时25页，读后一页书时的速度折合为每小时35页，

32、试问该学生平均每小时的阅读速度是多少？=（页/小时）例3-13：一学生前15分钟学会生词30个，后10分钟学会生词也是30个，试问该生学会每个单词所需的时间是多少？（分钟/个）2时间相同，工作量不等时，若求单位时间所做的工作量，应采用算术平均数；反之，若求单位工作量所需的时间应运用调和平均数。例3-14：在一个解题实验中，实验结果如表3-9，试求被试学习的平均解题速度和被试在单位时间内所做的工作量是多少？ 表3-9 学习实验结果被试解题数目时间（小时）单位时间的工作量单位工作量所需时间124224/2=122/24=1/12220220/2=102/20=1/10316216/2=82/16=

33、1/8412212/2=62/12=1/65828/2=42/8=1/46424/2=22/4=1/2841242因求单位时间内所做工作量的多少，应选用算术平均数，即有（题/小时）若本例采用倒数平均数则会得出错误答案，如计算其倒数平均数，则有（题 /小时）即每小时解题4.9个，12小时则解题58.8，而非本例中的84个。若是求单位工作量所用的时间则可用倒数平均数，即有（小时/题）那么解84题所需的时间为 小时。3已知单位时间工作量时可直接计算例3-15：五个学生每小时解题的数目分别为3，4，6，8，11。试问五个学生平均每小时的解题速度是多少？表3-10 平均速度计算方法小结调和平均数算术平均

34、数工作量相同，时间不同求单位时间的工作量求单位工作量所需的时间工作量不同，时间相同求单位工作量所需的时间求单位时间的工作量第五节 SPSS实验均数、中数和众数计算例3-1数据的均数、中数和众数。例3-1：语文成绩43，23，35，37，42，48，54，28，44，36，38，33。第1步：录入数据，见图3-3（或读取数据）。 图3-3 录入或读取数据 第2步：选“Analyze”，展开下拉菜单。单击“Descriptive Statistics”，再单击Frequencies，出现“Frequencies”对话框，将成绩添加到“Variable(s)：”，见图3-4。图3-4 添加变量：统计成绩第3步：单击“Statistics”，选择“Central Tendency”中的“Mean，Median，Mode，Sum”，再单击“Continue”按钮（见图3-4），返回“Frequencies”，单击“OK”，SPSS开始计算。结果见表3-5。图3-5 选择集中量指标Statistics（语文成绩）NValid12Missing0Mean38.4167Median37.5000Mode23.00(a)a Multiple modes exist. The smallest value is shown本章小结指标符号定 义公 式应用平均数所有观