山东省青岛市2019届高三数学3月教学质量检测一模试题文含解析

1、山东省青岛市2019届高三数学3月教学质量检测（一模）试题 文（含解析）2019.03一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】现根据题干得到集合B的元素，再由集合交集的概念得到结果.【详解】集合，集合，则 .故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复

2、平面内所对应的点.【详解】复数满足, 在复平面内对应的点位：，在第一象限.故答案为：A.【点睛】如果是复平面内表示复数 的点，则当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A. 493B. 383C. 183D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即

3、可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到 故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题4.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真

4、假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.【详解】K=9,s=1,进入循环得,k=8,再进入循环,k=7, 进入循环得到 ，不满足判断框的条件，故此时输出k值，得到k=5.故答案

5、为：C.【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数6.在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则得到，再由向量的减法法则，以和 为基底表示向量.【详解】根据向量的减法法则得到,又因为，故得到 ，代入上式得到 .故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向

6、量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。7.已知数列为等比数列，满足；数列为等差数列，其前项和为，且，则（ ）A. 13B. 48C. 78D. 156【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质可得a76，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和【详解】等比数列an中，a3a11a72，可得a726a7，解得a76，数列bn是等差数列中b7a76，根据等差数列的前n项和与等差中项的性质得到：S1313（b1+b13）13b713b7代入求得结果为：78.故选：C【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题8.已知双曲线：，为

7、坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，过的右焦点且垂直于轴的直线交的渐近线于，若与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得，即可求出渐近线方程【详解】由三角形的面积比等于相似比的平方，则，C的渐近线方程为yx，故选：B【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，考查了三角形面积之比等于相似比这一转化，题目比较基础.9.某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图是一个棱长为4的正方

8、体，挖去了两个圆柱，圆柱的底面圆的半径为2，让正方体的体积减去半个圆柱的体积即可.【详解】根据三视图得到原图是一个棱长为4的正方体，挖去了两个圆柱，圆柱的底面圆的半径为2，故得到的体积为正方体的体积减去半个圆柱的体积， 故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、

9、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的图像得到函数的周期排除AC，再由图像的到在处取得最值，从而得到答案.【详解】根据图像得到三角函数的周期为，由周期的公式知.此时排除AC.又因为图像中函数在处取得最大值，代入BD发现D不合题意故舍去.故答案为：B。【点睛】这个题目考查了三角函数的图像的性质的应用，知图求式，比较好的方法有：根据图像中的特殊点或者图像中体现出来的函数的定义域，进行选项排除.11.已知函数，若，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【

10、解析】【分析】可以得出，从而得出ca，同样的方法得出ab，从而得出a，b，c的大小关系【详解】, ,根据对数函数的单调性得到ac,又因为，再由对数函数的单调性得到ab,ca，且ab；cab故选：D【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.12.已知函数，若方程（为常数）有两个不相等的根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出当x0时，函数的导数，研究函数的极值和图象，作出函数f（x）的图象，由数形结合进行求解即可【详解】当x0时，函数f（x）2（lnx+1）1l

11、nx，由f（x）0得1lnx0得lnx1，得0xe，由f（x）0得1lnx0得lnx1，得xe，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当xe时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（e）2eelne2eee，当x0时，f（x）x2x（x+）2+，是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数f（x）的图象如图：要使f（x）a（a为常数）有两个不相等的实根，则a0或ae，即实数a的取值范围是（，0），故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设

12、条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余

13、3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是_【答案】【解析】【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P（A），得解【详解】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选：B【点睛】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，属中档题在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于

14、角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的14.已知，满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求解【详解】作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由zx+y，得yx+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线yx+z，当直线yx+z经过点A时，直线yx+z的截距最小，此时z最小，由，此时zmin+1故答案为：【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最

15、优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。15.已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6，则椭圆的方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意和椭圆的几何性质得到四边形的面积为：结合离心率的值，构造方程得到结果.【详解】根据题意得到当直线和x轴垂直时四边形可分割成两个三角形，底边为2a,高为半通径长 此时四边形的面积为： 再由离心率为，得到 此时方程为：.【点睛】这个题目考查了椭圆的几何性质的应用方程的求法，涉及离心率的应用，以及椭圆通径的应用；题目

16、比较基础. 求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用.16.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为_【答案】【解析】【分析】首先根据题意分析出当球和四棱锥内切时球的表面积最大，之后根据面积分割得到，从而得到球的半径.【详解】在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积时，对应的球应该是内切球，此时球的半径最大，设内切球的球心为O半径为R，连接球心和ABCD四个点，构成五个小棱锥，根据体积分割得到，五个小棱锥的体积之和即为大棱锥的体积，根据AB垂直于AD，PD垂直于AB可得到AB垂直于面PDA，故得到AB垂直于PA， 同理

17、得到BC垂直于PC，表面积为：， 此时球的表面积为： .故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球和锥体的内切问题，通常是应用体积分割来求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答.（一）必考题：共60分.17.在中，为线段上的一点

18、，为的中点.（1）求；（2）若的面积为3，求的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角形的正弦定理得到，由特殊角的三角函数值得到的大小；（2）根据三角形面积公式得到，再由余弦定理得到长.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，所以，又，所以，所以.（2）在中，由得：，所以.在中，由余弦定理得，所以.【点睛】这个题目考查了正弦定理和余弦定理解三角形，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出

19、现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面.（1）证明：平面平面；（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 取的中点，连结,根据面面垂直得到平面，所以，再由可得到线面垂直，进而得到面面垂直；（2）平面，所以，两点到平面的距离相等，均为，为线段的中点，所以到平面的距离，再由公式得到体积.【详解】证明：（1）取的中点，连结，因为为等边三角形，所以.又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为底面为正方形，所以.因为，所以平面，又因为

20、平面，所以平面平面.（2）由（1）得平面，所以到平面的距离.因为底面为正方形，所以.又因为平面，平面，所以平面.所以，两点到平面的距离相等，均为.又为线段的中点，所以到平面的距离.由（1）知，平面，因为平面，所以，所以.【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.19.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它

21、们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图.产品质量/毫克频数3919352275（1）由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，）（2）按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能

22、控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在（单位：百件）件产品中，得到次品数量（单位：件）的情况汇总如下表所示：（百件）0.523.545（件）214243540根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？（参考公式：用最小二乘法求线性回方程的系数公式 ；）【答案】（1）详见解析；（2）可以安排一小时生产2000件的任务.【解析】【分析】（1）根据题干补全列联表，由卡方公式计算得到卡方值，从而进行判断；（2）根据公式得到线性回归方程，将x=20百件时代入方程，进行

23、判断可得到结果.【详解】（1）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，所以，列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200所以 .所以，在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关.（2）由已知可得：；.由回归直线的系数公式， .所以.当（百件）时，符合有关要求.所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产2000件的任务.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直

24、线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值。20.已知抛物线：的焦点为，点在上，的中点坐标为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线相切于点（异于原点），与抛物线的准线相交于点，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设，因为的中点坐标为，所以解得参数值p即可得到方程；（2）对抛物线求导，代入点P得到直线l的方程，令y=-2,得到点Q的坐标，再根据向量点积的坐标表示得到结果.【详解】（1）由题知，设，因为的中点坐标为，所以，解得：，.所以抛物线的方程为：.（2）

25、由，得，设点，则直线的方程为，即为，令，得，所以，所以，所以.【点睛】这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，一般直线和抛物线相切，当抛物线开口向上或者向下时，在一点处的切线方程，可以通过求导得到切线斜率，由点斜式得到切线方程，而开口向左向右的抛物线一般都是设出直线方程，联立直线和抛物线之后判别式等于0即可.21.已知函数，为自然对数的底数.（1）当时，证明：函数只有一个零点；（2）若函数存在两个不同的极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的最值，发现函数最大值等于0，从而得证；（2）原题等价于导函数存在两个变号零

26、点，对导函数求导研究导函数的单调性，和图像性质，使得导函数有两个零点，进而得到结果.【详解】（1）由题知：，令，当，所以在上单调递减.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故只有一个零点.（2）由（1）知：不合题意，当时，因为，；，；又因为，所以；又因为，因为函数，所以，即，所以存在，满足，所以，；，；，；此时存在两个极值点，0，符合题意.当时，因为，；，；所以；所以，即在上单调递减，所以无极值点，不合题意.综上可得：.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的零点和函数的极值点中的应用，涉及函数的零点或方程的根的问题，这类问题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根