圆锥曲线第三讲抛物线

1、圆锥曲线第三讲抛物线一、基础练习：1. 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 .2. 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_.3. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线有 条.4已知抛物线yx2，则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为_5已知A、B是抛物线x24y上的两点，线段AB的中点为M(2，2)，则|AB|等于_6(2009年高考宁夏、海南卷)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛

2、物线C的方程为_7已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|MN|，则NMF_.8(原创题)已知抛物线y24x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x4y90的距离为d2，则d1d2的最小值是_9抛物线y24x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2，y10，y20)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，求此抛物线的方程.3、(汕头市金山中学2009届11月月考)在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标.4、（广东省六校2010届高三第三次联考）已知抛物线

3、（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为（1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？5、（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.四、随堂检测及反馈1抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是_2从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为_3(2010年苏州调

4、研)已知抛物线C的方程为x2y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_4已知抛物线yax2(a0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQl于Q，则抛物线的焦点坐标是_；梯形PQRF的面积是_5(2009年高考福建卷)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.6在平面直角坐标系xOy中有一定点A(2,1)若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_7设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|_.8已

5、知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是_米9已知P是抛物线y22x上的一个动点，过点P作圆(x3)2y21的切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是_10已知F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设.(1)求曲线C的方程；(2)证明：.11已知抛物线x24y及定点P(0,8)，A、B是抛物线上的两动点，且(0)过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：点M的纵坐标为定值；(2)是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动

6、，都有AQPBQP？证明你的结论12(2009年高考浙江卷)已知抛物线C：x22py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.(1)求p与m的值；(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线，求t的最小值一、基础练习答案：1、解析过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3.2、【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直

7、线AB必过的定点.3、 解析 ，而通径的长为4,故1条或2条.（p=1,直线有两条！）4、解析：抛物线的焦点是(0,1)，且对称轴为x0，故所求直线方程为y1.答案：y15、解析：设A(x1，)，B(x2，)，由已知得即A(0,0)，B(4,4)，故|AB|4.答案：46、解析：设抛物线方程为y2ax(a0)A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y12ax1，y22ax2， 得y12y22a(x1x2)，(y1y2)a，a414，y24x.7、解析：如图，过点N向准线引垂线，垂足为P，由抛物线的定义知|NF|NP|，又|NF|MN|，即|NP|MN|，所以在RtNMP中，sinNM

8、P，即NMP，故NMF.答案：8、解析：据抛物线的定义可知d1等于点P到焦点的距离，故求d1d2的最小值即为确定抛物线上的点到焦点的距离与到直线的距离之和最小，又抛物线与已知直线无交点，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d1d2有最小值，故(d1d2)min.答案：9、解：(1)抛物线y24x的准线方程为x1，F(1,0)0，A，B，F三点共线由抛物线的定义，得|x1x22.由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：yk(x1)，而k，x1x2，y10，y20.由得k2x22(k22)xk20.|x1x222，k2.从而k，故直线AB的方程为y(x

9、1)，即4x3y40.(2)由求得A(4,4)，B(，1)设AOB的外接圆方程为x2y2DxEyH0，则解得故AOB的外接圆的方程为x2y2xy0.三、互动展示答案1、【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ，此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.2、3、解析解法1：设抛物线上的点，点到直线的距离，当且仅当时取等号，故所求的点为

10、解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，由得，故所求的点为4、解：（1）抛物线方程为 故焦点的坐标为 （2）设 直线的方程是 5、解：（1）上的点M在抛物线（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4，p=8M（-4，）在椭圆上由解得：a=5、b=3椭圆为由p=8得抛物线为设椭圆焦点为F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=，即为所求的最小值.四、随堂检测及反馈答案1、解析：由抛物线定义可得A、B两点到准线x的距离之和为5，则线段AB中点到y轴的距离为2.答案：22、解析：由抛物

11、线方程y24x易得准线l的方程为：x1，又由|PM|5可得点P的横坐标为4，所以SMPF5410.3、解析：由两点式直线方程得AB的方程为yx1，代入抛物线C的方程得2x2x10，由82，则t(，)(，)答案：(，)(，)4、解析：代入(1,2)得a2，所以抛物线为x2y，故焦点F(0，)又R(0，)，|FR|，|PQ|2，所以梯形的面积为()1.答案：(0，)5、解析：由焦点弦长公式|AB|，得|AB|，2p|AB|，p82.6、解析：由于OA的中垂线方程为y2(x1)，令y0，得x，即抛物线的焦点坐标为(，0)，因此，准线方程为x.7、解析：由于抛物线y24x的焦点坐标为F(1,0)，由0

12、，可取(1,0)，此时，(1,0)，由对称性，得A(，)、C(，)于是，可得|2 1516.8、解析：建立平面直角坐标系如图，设开始水面与抛物线的交点为A，由题意可知A(4，2)，故可求得抛物线的方程为yx2，水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为，代入抛物线方程yx2，可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为4.9、解析：如图，设P(x，y)，C为圆心，则根据圆的切线的性质可知，PC垂直平分MN，且CM与PM，CN与PN分别垂直，则SPMC1|PM|PM|，又SPMC|PC|MN|PC|MN|，所以|MN|，则|MN|24(1)41，所以当x2时，|MN|有最小值.答案：10、解：(1)椭圆1的右

13、焦点F2的坐标为(1,0)，可设曲线C的方程为y22px(p0)，p2，曲线C的方程为y24x.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)， y1y2. y122y22.y124x1，y224x2，x12x2. 代入得2x21x2，x2(1)1.1，x2，x1，(x11，y1)由知，y1y2，(1，y2)，故.11、解：(1)证明：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为yx2，求导得yx，所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别为yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22，解得M(，)又(0)，得(x1

14、,8y1)(x2，y28)，即将式两边平方并代入y1x12，y2x22，得y12y2，再代入式得y28，解得y18，y2，且有x1x2x224y232，所以点M的纵坐标为8.法二：直线AB与x轴不垂直，设AB：ykx8.A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得x24kx320，x1x24k，x1x232，抛物线方程为yx2，求导得yx，过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，MA：yx12x1(xx1)；MB：yx22x2(xx2)，解得yMx1x28，即点M的纵坐标为定值8.(2)考虑到ABx轴时，显然要使AQPBQP，则点Q必定在y轴上，设点Q(0，t)，此时kAQ，kBQ，结合(1)x1x24k，x1x232，故kAQkBQ0对一切k恒成立，即k(8t)0，故当t8，即Q(0，8)时，使得无论AB怎样运动，都有AQPBQP.12、解：(1)由抛物线的定义，得4()，又m28p，所以p，m2.(2)由p，得抛物线的方