北京市2014高考二轮总复习解析几何第3讲圆锥曲线的热点问题

1、第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中1直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当b0)的离心率为，其左、右焦点

2、分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且EGF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足t(O为坐标原点)，当|0，得k2.x1x2，x1x2，t，(x1x2，y1y2)t(x，y)，x，yk(x1x2)4k.点P在椭圆C上，22，16k2t2(12k2)|，|x1x2|，(1k2)(x1x2)24x1x2，(1k2)40，k2.k2.16k2t2(12k2)，t28，又12k22，t284，2t或t2，实数t的取值范围为(2，)(，2)(推荐时间：70分钟)一、选择题1 已知方程1(kR)表示焦点在x

3、轴上的椭圆，则k的取值范围是()Ak3 B1k1 Dk3答案B解析若椭圆焦点在x轴上，则，解得1k3) D.1(x4)答案C解析如图|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)3 设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析依题意得：F(0,2)，准线方程为y2，又以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM|y02|，

4、|FM|4，即|y02|4，又y00，y02.4 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8答案C解析设P(x0，y0)，则1，即y3，又因为F(1,0)，所以x0(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即2,6，所以()max6.5 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()A(0，) B(，)C(，) D(，)答案B解析设椭圆与双曲线的半焦距为

5、c，PF1r1，PF2r2.由题意知r110，r22c，且r1r2,2r2r1，2c10，c51.二、填空题6 直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_答案m1且m5解析方程1表示椭圆，m0且m5.直线ykx1恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点，应有：1，m1，m的取值范围是m1且m5.7 设F1、F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，12的值等于_答案2解析易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大此时，F1(，0)，F2(，0)，不妨设P(0,1)，1(，1)，2(，1)，122.8 已知

6、抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_答案1解析过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y24x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x1，则由抛物线的定义可得d1d2|PA|AB|d2|PF|1d2，|PF|d2大于或等于焦点F点P到直线l，即|PF|d2的最小值为，所以d1d2的最小值为1.9 (2013安徽)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_答案1，)解析以AB为直径的圆的方程为x2(ya)2a，由得y2(12a)

7、ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知解得a1.三、解答题10已知直线x2y20经过椭圆C：1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x分别交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值解(1)如图，由题意得椭圆C的左顶点为A(2,0)，上顶点为D(0,1)，即a2，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0，设直线AS的方程为yk(x2)(k0)，解得M(，)，且将直线方程代入椭圆C的方程，得(14k2)x216k2x16k240.设S(x1，y1)，由根与系数的关系得(2)

8、x1.由此得x1，y1，即S(，)又B(2,0)，则直线BS的方程为y(x2)，联立直线BS与l的方程解得N(，)|MN|2.当且仅当，即k时等号成立，故当k时，线段MN的长度的最小值为.11(2013课标全国)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解(1)设圆P的半径为r，则|PM|1r，|PN|3r，|PM|PN|4|MN|，P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外，且2a4,2c2，a2，c1，b2a2c

9、23.P的轨迹曲线C的方程为1(x2)(2)由(1)知：2r(|PM|PN|)2|MN|24，圆P的最大半径为r2.此时P的坐标为(2,0)圆P的方程为(x2)2y24.当l的方程为x0时，|AB|2，设l的方程为ykxb(kR)，解之得：或.l的方程为yx，yx.联立方程化简：7x28x80x1x2，x1x2，|AB|.12设椭圆C：1(ab0)的离心率e，左顶点M到直线1的距离d，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求AOB的面积S的最小值(1)解由e，得ca，

10、又b2a2c2，所以ba，即a2b.由左顶点M(a,0)到直线1，即bxayab0的距离d，得，即，把a2b代入上式，得，解得b1.所以a2b2，c.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1x2，y1y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故0，即x1x2y1y20，也就是xy0，又点A在椭圆C上，所以y1，解得|x1|y1|.此时点O到直线AB的距离d1|x1|.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，与椭圆方程联立有消去y，得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2，x1x2.因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB.所以x1x2y1y20.所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20.所以(1k2)m20.整理得5m24(k21)，所以点O到直线