高三数学第一轮复习抛物线的定义性质及标准方程

1、高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 【本讲主要内容】 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准 不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e1线，定点时为抛物线，当0e1时为双曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）： 其中为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。 的直线与抛物线交于的焦

2、点，抛物线的焦点弦： 4. 设过抛物线直线 与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有， ，。 说明： 若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；求抛物线方程时，1. 迹法。凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。2. 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的 方程。 设所求抛物线的方程为或解析： ）0设交点（y1 则 ，代入得 点在上，在上 或， 故所求抛物线

3、方程为或。 的焦点为，经过的直线交抛物线于例 2. 设抛物线两点，点在抛物线的准线上，且 经过原点。 轴，证明直线 解析：证法一：由题意知抛物线的焦点 故可设过焦点的直线的方程为 由，消去得 设，则 轴，且在准线上 点坐标为 于是直线的方程为 要证明经过原点，只需证明，即证 注意到知上式成立，故直线经过原点。 证法二：同上得。又轴，且在准线上，点坐标为。于是 ，知三点共线，从而直线经过原点。 证法三：如图， 设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足 于点 则交，则，连结 又根据抛物线的几何性质， 与原点重合，直线经过原点。 因此点是的中点，即 评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运

4、算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。 【考点突破】 【考点指要】 抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是分。 考查通常分为四个层次： 层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用； 层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。 【典型例题分析】 为抛物线上一点，

5、若，则点为坐标原点，为抛物线2006江西）设的焦点，的 例3. （ ） 坐标为（ B. A. D. C. 答案： 坐标为 解析：解法一：设点，则 ， 解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。 解法二：由题意设，则， 即，求得，点的坐标为。 评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 4 . 4 答案：D 解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。 评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 【达标测试】 一. 选择题： 1. 抛物线的准线方程为，则实数的值是（ ） D. C.

6、B. A. ） 轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，则等于（2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在 B. 4或4 C. 2 A. 4 D. 2或2 3. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ） A. B. 或 D. 或 C. 4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到 直线的距离与点到点的距离的平方差为，则点的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对 6. 已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则 的最小值是（ ） A. 5

7、 B. 4 C. D. 7. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最 小值是（ ） 5 D. C. 4 B. A. ） 的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值是（ 8. 过抛物线 B. 12 C. 3 A. 12 D. 3 二. 填空题： 9. 已知圆和抛物线的准线相切，则的值是。 的垂心恰好是此抛物线的焦点，上两点，则直线为坐标原点，若10. 已知分别是抛物线 的方程为。 11. 过点（0，1）的直线与交于两点，若的中点的横坐标为，则。 两点，那么线段交于的中点坐标是。与抛物线12. 已知直线 解答题：三. 13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点

8、到焦点的距离是5，求抛物线的方程。 所平分，求的弦，恰被所在直线方程。14. 过点（4，1）作抛物线 。 15. 设点F（1轴上，0点在）轴上，且，M点在 点的轨迹 当点的方程； 在轴上运动时，求 设是曲线上的三点，且成等差数列，当的垂直平分线 的坐标。 轴交于E（3，0）时，求点与 【综合测试】 . 选择题：一 的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5（2005上海）过抛物线，则这样的直1. ）线（ A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 2. （2005江苏）抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 0

9、，若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与3. （2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为 抛物线的交点与原点的距离是（ ） 21 D. C. B. A. 的准线重合，则该双曲线的离心率4. （2005全国）已知双曲线的一条准线与抛物线 ）为（ A. B. C. D. 5. （2004全国）设抛物线，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取的准线与轴交于点 ）值范围是（ A. B. C. D. 取得最小值，则的上的点，6. （2006是抛物线时为原点，当山东）动点最小值为（ ） A. B. C. D. 7. （2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，

10、在杯内放一个小球， ） 的取值范围是（要使球触及杯子的底部，则该球的表面积 D. C. B. A. 及点到准线8. 的准线为，直线（2005北京）设抛物线与该抛物线相交于两点，则点 ） 的距离之和为（ A. 8 B. 7 C. 10 D. 12 二. 填空题： 9. （2004全国）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最 小值是。 10. （2005北京）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦为，以为直径的圆为，则圆与抛物线准 线的位置关系是，圆的面积是。 ，0（轴交点坐标为所在直线与，的一条弦已知抛物线辽宁）2005（11. 。2），则 的焦点在直线上，现将抛物线沿向量进行平移，且使得抛12. （2004黄冈）已知抛物线 物线的焦点沿直线移到点处，则平移后所得抛物线被轴截得的弦长。 三. 解答题： 13. （2004山东）已知抛物线C：的焦点为，直线过定点且与抛物线交于两点。 的值；若以弦为直径的圆恒过原点，求 在的条件下，若，求动点的轨迹方程。 14. （2005四川） 如图，是抛