2012年春华师网院常微分作业答案

1、作业1第1题设有四个常微分方程：(i) ,(ii) ,(iii) , (iv) .A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.02第7题可将六阶方程 化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.A.B.C.D.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.03第10题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.04第12题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常

2、数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B. C.D. A.B.C.D.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.05第13题初值问题,的第二次近似解可以写为( ). A. 6; B. ; C. ; D. +.A.B.C.D.您的答案：D题目分数：2此题得分：2.06第15题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) ,(ii) ,(iii) ,(iv) .A.1B.2C.3D.4您的答案：C题目分数：2此题得分：2.07第16题设有四个常微分方程：(i) ,(ii) ,(iii) ,(iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.您的

3、答案：B题目分数：2此题得分：2.08第17题微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A.B.C.D.您的答案：D题目分数：2此题得分：2.09第20题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D您的答案：D题目分数：2此题得分：0.010第21题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中; C. 存在某个常数方阵C使得,

4、其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A.B.C.D.您的答案：A题目分数：2此题得分：2.011第22题微分方程 是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程; B.n阶变系数齐次线性常微分方程; C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.您的答案：A题目分数：2此题得分：2.012第23题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.B.C.D.您的答案：A题目分数：2此题得分：2.013第25题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.

5、CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.014第27题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ; B. ; C. ; D. .A.B.C.D.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.015第29题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. .A.B.C.D.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.016第2题求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步: A. 因为, B. 所以原方程是恰当方程; C. 将方程中的重新分项组合, D. 凑出全微分：, E. 得到通解：. A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.01

6、7第3题如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误: 解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数. 代入原方程可得. 利用对应系数相等便得到代数方程组: .由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A.B.C.D.E.您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.018第4题设为方程（ A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的: A. 可以是也可以

7、不是原方程组的解矩阵, B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得, D. 取, 可得到. E. . A.B.C.D.E.您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.019第5题以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的: 解答：记, 则(A), 注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与 x有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：. 将该积分因子乘在原方程的两端：(D), 分项组合为, 或可整理为(E), 最后得到原方程的通解. A.AB.BC.CD.DE.E您

8、的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.020第6题试求方程组的基解矩阵，并求满足初始条件的解其中, . 判断哪些步骤所得到的结果是正确的： A. 齐次线性方程组的特征方程是, B. 矩阵 A 的特征根为, 对应的特征向量可分别取为, . C. 原方程组基解矩阵可取为: . D. 标准基解矩阵为=. E. 原方程组满足所给初始条件的解为A.B.C.D.E.您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.021第8题设有方程:, 以下步骤中正确的是: A. 利用变量变换, B. 由，有, C. 代入原方程得到,D. 整理后可得, E. 分离变量得到. A.AB.BC.CD.DE

9、.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.022第9题利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的: 解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。令(A), 则. 代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:(B).这是一个变量分离型的方程. 如果, 可得是原方程的解, 故不妨假设(C), 因此可以约掉一个z, 分离变量后有: ,两边积分可得: , 又由, 代入上述方程, 再次分离变量(D),在等式两边积分可得原方程的通解(E): . A.B.C.D.E.您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.023第11题以下各个

10、步骤中的哪些能够证明方程的任何两个解之差当 x趋向于正无穷大时趋向于零:A. 原方程的任何两个解的差是对应齐次方程的解,B. 对应齐次方程的特征根是,C. 对应齐次方程的基本解组是, D.=0, =0, E. 原方程的任何两个解的差当 x趋向于正无穷大时趋向于零. A.B.C.D.E.您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.024第14题以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的: 解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导 (B), 可得: , 或(C).这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶

11、常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:.(D)两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）: , 因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E).A.B.C.D.E.您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.025第30题请查出求解一阶线性微分方程的过程中有错误的步骤: A. 先求解对应齐方程：，分离变量可得, B. 两边积分求出积分可以得到（C是任意常数）：, C. 再将常数C 变易为函数：. D. 代入到原方程中可以得到：, E. 原方程的通解（C 是任意常数）：. A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.026第18题利用变换可将伯努利方程化为线性方程.您的答案：错误题目分数：4此题得分：4.027第19题平面上过点的曲线为, 该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程是, 初始条件为. 您的答案：正确题目分数：4此题得分：4.028第24题当用比较系数法