第04单元角平分线类

1、第4单元 角平分线类 夏艳峰试试看：与角平分线有关的知识与题目能想起多少？角的平分线是射线、三角形的角平分线是线段，角平分线分成的两个角相等、出现半角和倍角，中垂线、等腰三角形三线合一，角平分线性质定理及其逆、角是轴对称图形、折叠与反射出现角平分线，菱形与正方形的对角线就是角平分线，邻补角的平分线相互垂直、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线相互垂直，垂直角平分线的直线与角的两边交成一个等腰三角形，角平分线遇平行必有等腰三角形（注：据此还可作正方形与菱形），圆心（周）角的平分线分成的弧相等、三角形内角平分线的交点是这个三角形的内心、三角形外角平分线与其不相邻一内角平分线的交角等于另一个

2、不相邻内角的一半下面就以五种情况进行专题研究1. 如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形；2. 如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F是GH的中点；3. 如图3，见角平分线用性质（注：指用角的轴对称性找等线段或全等三角形. 图中M、N关于OC对称时必有OMKONK，图里KPOA、KQOB中的P、Q只不过是M、N的特殊位置而已）；4. 补半角成倍角，或分倍角为半角；5. 角平分线与圆.图1 图2 图3一、角平分线遇平行找等腰三角形【解法归一】角平分线遇平行找（或造）等腰三角形；有角平分线无平行就造平行.例4-1-1 如图4-1-1，在ABC中，BD、CD分别平分ABC、BC

3、A，过D点的直线EFBC，并且交AB于E、交AC于F.图4-1-1（1）图中的等腰三角形有 个，它们是 ；（2）再添加条件AB=AC后，则图中的等腰三角形变为共有 个.【交流分享】角平分线遇平行必有等腰三角形.例4-1-2 如图4-1-2，在梯形ABCD中，ADBC，C=90，点E为CD的中点，作FAE=DAE，且点F在直线BC上. 请你猜想AEF的度数，并证明之.图4-1-2【交流分享】角平分线与平行角一边的直线不相交时，延长它们，使之相交，造出等腰三角形.例4-1-3 探究1 如图4-1-3 ，AD为等边ABC的内角平分线，显然有.探究2 如图4-1-3 ，若ABC为任意三角形，线段AD为

4、其内角平分线，一定成立吗？证明你的判断.应用：如图4-1-3 ，在RtABC中，ACB=90，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线AD于F. 试求的值.图4-1-3 图4-1-3 图4-1-3 【交流分享】有角平分线无平行，则造平行.体验与感悟4-11. 如图4-1-4，请在ABC内画一个菱形BDEF，要求D、E、F分别在边BC、AC、AB上.2. 如图4-1-5，点O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ） A. B. C. D. 图4-1-4 图4-1-5 图4-1-63. 如图4-1-6，梯形ABCD中，ADBC，AB=3

5、，BC=5，连接BD，BAD的平分线交BD于点E，且AECD，则AD的长为 .4. 如图4-1-7，在ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分CBP. 设BP=y，PE=x.（1）当时，求y与x之间的函数关系式；（2）当（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式.图4-1-7 5.（1）如图4-1-8 ，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与CD相交于F点. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论； 图4-1-8 图4-1-8 （2）如图4-1-8 ，当F在DC的延长线

6、上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.【提醒】回想一下平行与角平分线的巧妙结合吧.二、遇垂直角平分线找等腰三角形【解法归一】遇垂直角平分线，找（或补全）它与角两边相交所成的等腰三角形.例4-2-1 在ABC中，点D是BC边的中点，AM是ABC的角平分线，CEAM，垂足为E，连接DE.（1）当时（如图4-2-1 ），求证：；图4-2-1 （2）当时（如图4-2-1 ），请你写出AB、AC与DE之间的数量关系： ； 图4-2-1 图4-2-1 （3）如果改AM为ABC的外角平分线，其他条件不变（如图4-2-1 ），请你写出AB、AC与DE之间的数量关系： .【规律】

7、遇垂直角平分线，找等腰三角形，垂足是这个等腰三角形的底边中点.体验与感悟4-2 1. 如图4-2-2，在ABC中，BCD=10，B=60，AD平分BAC，CDAD，则ACD= .2. 如图4-2-3，在ABC中，AD是中线、AE是角平分线，CFAE于F，AB=5，AC=2，则DF= . 图4-2-2 图4-2-3 图4-2-43. 如图4-2-4，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，E为AB上一点，且ED平分ADC，DEEC，则下列结论中不正确的有（ ）A. ADE=CDE B. EC平分BCD C. D. 4. 如图4-2-5，在ABC中，A=90，AB=AC，BE平分ABC交AC于D

8、，过C作BE的垂线交BE于E，求证：BD=2CE. 图4-2-55.（1）如图4-2-6 ，已知BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD于F，AGCE于G，连接FG，延长AF、AG与直线BC相交于M、N. 则FG与ABC三边具有的数量关系是： . 图4-2-6 图4-2-6 （2）如图4-2-6 ，若BD为ABC的内角平分线，其他条件不变，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请证明你的猜想.6. 在ABC中，ACB=90. 经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E.（1）如图4-2-7 ，若ABC=4

9、5，CD=1，则AE= ；（2）如图4-2-7 ，当ABC为任意锐角时，请猜想线段AE、CD之间的数量关系，再加以证明. 图4-2-7 图4-2-7 【提醒】回想一下垂直角平分线时怎么做？三、遇倍角或半角【解法归一】见半角补成倍角或等分倍角；见倍角等分之或造半角的等腰三角形例4-3-1 在ABC中，A=90，点D在线段BC上，C=2EDB，BEDE于E，DE交AB于点F.（1）如图4-3-1 ，当AB=AC时，1）EBF= ；2）探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）（选做）如图4-3-1 ，当AB=k AC时，求的值（用含k的式子表示）. 图4-3-1 图4-3-1 【交流分享】从

10、D作AC的平行线，补成倍角.体验与感悟4-3阅读材料：如图4-3-2 ，在ABC中，A=2B，且A=60. 小明通过以下计算：由题意知B=30，C=90，得：，即.于是小明猜想：对于任意的ABC，当A=2B时，关系式都成立.图4-3-2 图4-3-2 图4-3-2 （1）如图4-3-2 ，请你用等腰Rt进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；（2）如图4-3-2 ，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；（3）若某三角形的三边长恰为三个连续偶数，且A=2B，请直接写出这个三角形三边的长. 【提醒】回头看看上面两题，是怎么作辅助线的？四、见角平分线用性质【解法

11、归一】角关于角平分线所在直线对称，依角的对称性找（或造）全等.例4-4-1 如图4-4-1，在ABC中，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E.（1）当B=47，则AEC= ；（2）当B=时，AEC= . 图4-4-1 图4-4-2例4-4-2 如图4-4-2，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E. 求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE.例4-4-3 如图4-4-3 ，MON=60，点A、B为射线OM、ON上不与点O重合的动点，且，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120.（1）AP的长为 ；（2）求证：

12、点P在MON的平分线上；（3）如图4-4-3 ，点C、D、E、F分别是四边形AOBP四边的中点. 当ABOP时，四边形CDEF的周长为 ； 若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围.（提示：从特殊位置入手考虑） 图4-4-3 图4-4-3 【交流分享】例4-4-1过E作三条垂线段；例4-4-2利用角的轴对称性找全等、构造平行四边形；例4-4-3从特殊位置入手.体验与感悟4-41. 如图4-4-4，在等腰直角ABC中，A=90，BD是角平分线，DEBC于E.（1）若AD=10，则DE= ；（2）若BC=10，则DCE的周长等于 . 图4-4-4 图4-4-5 2. 如图4-4-5，

13、在矩形ABCD中，点E是AD的中点，EBC的平分线交CD于点F，将DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N. 有下列四个结论： DF=CF； BFEN； BEN是等边三角形； SBEF=3SDEF. 其中，结论正确的是 （填序号）3. 如图4-4-6，ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，An-1BC的平分线与An-1CD的平分线交于点An. 设A=. 则（1）A1= ；（2）An= . 图4-4-6 图4-4-74. 如图4-4-7，点E在四边形ABCD的内部，BAD与ADC的平分线交于点E，若

14、EB=EC. 求证：ABC=BCD.5. 已知，直线MANB，MAB与NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E.（1）如图4-4-8 ，当直线l与直线MA垂直时，线段AD、BE、AB满足怎样的数量关系，请证明之； 图4-4-8 图4-4-8 （2）如图4-4-8 ，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 【提醒】思考一下如何用“角关于它的平分线对称、角平分线上任意一点到角两边距离相等”这两个性质.五、两角平分线相交用内切圆【说明】三角形内切圆是其三个内角平分线的交点，在Rt

15、中，内切圆半径r与三边a、b、c（）的关系为.【解法归一】三角形含两内角平分线的计算题、或有内切圆的计算题，想到用r与三边a、b、c的关系.例4-5-1 如图4-5-1，已知RtABC中，AC=24，斜边AB=25，半径为1的P在ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中P一直保持与ABC的边相切，当 P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（ ）A. B. 25 C. D. 56 图4-5-1 图4-5-2例4-5-2 如图4-5-2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F. 求证：.【交流分享】本题有不少于4种证法，试试看.体验与感悟4-51. 如图

16、4-5-3，C1点在正方形ABCD的BC边上，A1在BA边延长线上，AA1=CC1，并且A1F1平分BA1C1交BD于点F1，F1E1A1C1于E1. 猜想F1E1、A1C1与AB之间的数量关系，并证明之.图4-5-3 【提醒】请思考一下什么时候用角平分线交点是内心？六、第04单元提高题1. 如图4-6-1，在梯形ABCD中，ADBC，CE是BCD的平分线，且CEAB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为 . 图4-6-1 2. 如图4-6-2，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且AMMN，设BM=x，x取何值时，RtABMRtAMN？图4-6-2 3. 如图4-6-3，MON=45，直角三角形纸片的顶点A在边O