2012年高考数学第一轮总复习 9.2空间直线（第2课时）精品导学课件

1、第九章 直线、平面、简单几何体,空间直线,第 讲,2,（第二课时）,1. 设P为正三角形ABC所在平面外一点PA=PB=PC，APB=BPC=CPA=90，M、N分别是AB和PC的中点，求异面直线PM与BN所成的角.,题型4 求异面直线所成的角,解：连结MC，取其中点D，连结ND， 则 所以BND为所求的角. 连结BD，设正三角形ABC的边长为a. 由已知，APB，BPC， APC都是等腰直角三角 形，所以PM= 易知,DN= . 又CM= ，所以DM= . 在RtBMD中， 在BND中， 故异面直线PM与BN所成的角为 .,点评：求异面直线所成的角的关键是作辅助线来平移直线，化为同一平面内两

2、直线所成的角.一般根据中点可作中位线平移直线，或由平行四边形的性质平移直线，然后利用解三角形的有关知识求得夹角.,如图，在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中， E、F分别是BB1、CD的中点. (1)证明：ADD1F； (2)求AE与D1F所成的角. 解：(1)证明：因为ABCD- A1B1C1D1是正方体， 所以AD平面DCC1D1. 又DF1平面DCC1D1，所以ADD1F.,(2)取AB的中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点， 所以 又 所以 ， 故四边形GFD1A1是平行四边形， 所以A1GD1F.,设A1G与AE相交于H， 则A1HA是AE与D1F所成的角. 因为E是

3、BB1的中点， 所以 RtA1AGRtABE, 所以GA1A=EAB, 从而A1HA=90, 即直线AE与D1F所成的角为90.,2. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为8，异面直线AB1和BC1所成的角为 a r c cos ，求这个正三棱柱的侧棱长.,题型4 异面直线夹角条件的转化,解：连结B1C交BC1于D点，则D为B1C的中点. 取AC的中点E，连结DE， 则 所以BDE为异面直线AB1和BC1所成的角或其补角.,设正三棱柱的侧棱长为x. 因为正三棱柱的底边长为8， 则BE=8sin60= ， ， 所以 在BDE中，BE2=BD2+DE2- 2BDDEcosBDE.,若cosB

4、DE= ， 则 解得x=6. 若cosBDE= ，则x= . 故这个正三棱柱的侧棱长为6或 . 点评：已知角度求边长问题，一般是结合方程思想来解决，即先设边长为参数，然后根据题中条件转化为参数方程(组)，再解方程(组)，即可求得边长的值.注意方程的解与边长的值的实际意义.,如图，正方形ABCD的边长为 3，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=1. 将四边形AEFD沿EF折起到AEFD的位 置，使异面直线EB和DF所成 的角为60.求证：点A在 平面ABCD内的射影O恰好 在BC边上.,证明：因为AEDF， 所以AEB为异面直线EB和DF 所成的角，知AEB=60. 因为BE=1，AE=AE=

5、2，连结 AB， 则在AEB中， AB2=AE2+BE2-2 A EBEcos60=3，,所以AB2+BE2=AE2， 所以ABEB. 又EBBC，所以EB平面ABC， 所以平面ABC平面ABCD. 据两平面垂直的性质，知点A 在平面ABCD内的射影O在BC边上.,1. 求异面直线所成的角大致可分四个步骤进行：找出或作出异面直线所成的角(或其补角)构造三角形解三角形，即求角的某个三角函数值小结. 2. 作异面直线所成的角要用连线的办法，先定位再定性，一般不要直接作平行线.添加的辅助线要尽可能位于背景图形“内部”，并在解题过程中加以说明.,3. 用余弦定理解三角形，若出现所求角的余弦值为负值，则异