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文档简介

1、推论:(1),复习,即 若加括号后的级数收敛, 则原级数不一定收敛.,级数收敛的必要条件:,也发散.,第二节,第九章,正项级数及其审敛法,一、正项级数的比较审敛原理,二、正项级数的比较审敛法,四、小结,三、正项级数的比值审敛法,1.定义:,正项级数,2.正项级数收敛的充要条件,(基本定理),部分和数列 为单调增加数列.,一、正项级数的审敛法原理,二 、正项级数的比较审敛法,(1)比较审敛法1:,证: ,即部分和数列sn有(上)界,二 、正项级数的比较审敛法,(1)比较审敛法1:,(1) 比较审敛法,二 、正项级数的比较审敛法,(“ = ”可忽略),(比较审敛法1),比较审敛法的不便:,须有参考

2、级数.,主要的参考级数: 几何级数, P-级数，调和级数,几何级数(等比级数),(比较审敛法1),解,(正项级数),由图可知,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,证:,错,证明,(2)比较审敛法的极限形式 (比较审敛法2) :,设,与,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性,;,(2),当,时，若,收敛,则,收敛,;,(3),当,时,若,发散,则,发散,;,证明,则二级数同敛散,(3) 当l = + 时,即,若,发散 ,(2) 当l = 0时,收敛 ,若,则 也发散,则 也收敛,是两个正项级数,(1) 当 时,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当

3、 且 收敛时,(3) 当 且 发散时,也收敛 ;,也发散 .,(2)比较审敛法的极限形式 (比较审敛法2) :,注: 常通过找出等价无穷小或同阶无穷小的方式 来找出参考级数.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,故原级数收敛.,证明,三、 正项级数的比值审敛法,设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,( 数或+ ),(1),取足够小的 0,收敛,发散,(2),比值审敛法,(2)比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,(比较审敛法),原级数发散?,说明:比值极限不存在(非+)时,不能说明原级数发散.,解(1), 1,原级数收敛.,(2),原级数发散.,(3),(比值审敛法失效),级数收敛.,注: 当一般项中含有以n为变量的指数函数或幂指 函数时一般用根值审敛法,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,练习 判断下列级数的敛散性,2. 当一般项中含有以n为变量的指数函数或幂指 函数时一般用根值审敛法,四、小结,1.比较审敛法,2.比(根 )值审敛法,(k0),思考题,解：,由比较审敛法极限形式知 收敛.,错误！,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,课后习题,答案,是两个正项级数,(1) 当 时,两个级数同时收敛或发散 ;,(2

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