(整理)正余弦定理综合应用

1、.正余弦定理综合应用学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1已知abc的内切圆面积为，角a,b,c所对的边分别为a,b,c，若2b-ccosa=acosc.（1）求角a；（2）当abac的值最小时，求abc的面积.2设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且3acosc=3b-2c.（1）求sina的值；（2）若b=32sinb，求a的值；（3）若a=6，求abc面积的最大值.3在平面四边形abcd中，ad=7，bd=8，abc=2，cosbad=-17.（1）求abd；（2）若bcbd=24，求cd.4已知向量m=(2,-1)，n=(sina2,cos(b+c)，角a，b，c为

2、abc的内角，其所对的边分别为a，b，c.（1）当mn取得最大值时，求角a的大小；（2）在（1）成立的条件下，当a=3时，求b2+c2的取值范围.5在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且asinb-bcosc=ccosb（1）判断abc的形状；（2）若f(x)=12cos2x-23cosx+12，求f(a)的取值范围6如图：在abc中，b2=a2+c2-23ac，点d在线段ac上，且ad=2dc.（）若ab=2，bd=433求bc的长；（）若ac=2，求dbc的面积最大值7在abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c，sinccosc=sina+sinbcosa+cosb.（1

3、）求角c的大小；（2）若abc的外接圆直径为2，求a2+b2的取值范围.8在锐角三角形abc中，角a,b,c所对的边分别为a,b,c，已知(a-c)(sina+sinc)=b(sina-sinb).（1）求角c的大小；（2）求cos2a+cos2b的取值范围。9设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.10在 中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.精品参考答案1(1)a=3;(2)33.【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得2cosa=1，进而得a=3；（2）由内切

4、圆的性质得b+c-a=23，由余弦定理得a2=b2+c2-bc，进而得b+c-232=b2+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c8bc，bc12或bc43，又b3,c3，所以bc12，从而得当b=c时，abac的最小值为6，进而得面积.详解：（1）由正弦定理得2sinb-sinccosa=sinacosc，2sinbcosa=sinccosa+sinacosc=sinb，sinb0，2cosa=1，a=3.（2）由余弦定理得a2=b2+c2-bc，由题意可知abc的内切圆半径为1，如图，设圆i为三角形abc的内切圆，d,e为切点，可得ai=2,ad=ae=3，则b+c-a=23，于是b+c

5、-232=b2+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c8bc，所以bc12或bc43，又b3,c3，所以bc12，即abac=12bc6,+，当且仅当b=c时，abac的最小值为6，此时三角形abc的面积=12bcsina=1212sin3=33.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.2（1）sina=53（2）10（3）325【解析】分析：（1）由3acosc=3b-2c利用正弦定理得：3sinacosc=3sinb-2sinc，3sinacosc=3sin(a+c)-2sinc，利用两角和的正弦公式化简可得cosa=23，从而可得结果；（2）直接利用正

6、弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得43bc=b2+c2-62bc-6，bc9，由三角形面积公式可得sabc=12bcsina=56bc，从而可得结果.详解：（1）abc中，3acosc=3b-2c由正弦定理得：3sinacosc=3sinb-2sinc3sinacosc=3sin(a+c)-2sinc3cosasinc=2sincsinc0，cosa=23a(0,)，sina=53（2）由b=32sinb，得bsinb=32asina=32，a=3253=10（3）由（1）知sina=53sabc=12bcsina=56bc由余弦定理得：cosa=b2+c2-a22bc，a=

7、643bc=b2+c2-62bc-6bc9（当且仅当b=c时取“=”号）sabc=56bc569=325即abc面积的最大值为325点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.3（1）3；（2）27.【解析】分析：（1）由正弦定理即可；（2）由已知可得bcbdcosdbc=24，从而可得bc=23，再利用余弦定理即可.详解：（1）在abd中，cosbad=-1

8、7，bad2,，sinbad=1-cos2bad=437.由正弦定理得7sinabd=8437，sinabd=32.bad2,，abd0,2，abd=3.（2）bcbd=24，bcbdcosdbc=24，又dbc=abc-abd=2-3=6，bc832=24，bc=23，在bcd中cd2=bd2+bc2-2bdbccosdbc=82+232-282332=28，cd=28=27.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.4（1）a=3（2）(3,6【解析】分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式及二倍角的

9、余弦函数公式化简，整理后得到关于sina2的二次函数，由a的范围求出a2的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时sina2的范围，利用二次函数的性质即可求出mn取得最大值时a的度数；（2）由a及sina的值，利用正弦定理表示出c，再利用三角形的内角和定理用b表示出c，将表示出的c代入b2+c2中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由b的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出b2+c2的取值范围详解：（1）mn=2sina2-cos(b+c)=2sina2+cosa=-2sin2a2+2sina2+1，

10、令t=2sina2，t(0,1)，原式=-2t2+2t+1，当t=12，即sina2=12，a=3时，mn取得最大值.（2）当a=3时，b+c=23，b(0,23).由正弦定理得：asina=332=2=2r（r为abc的外接圆半径）于是b2+c2=(2rsinb)2+(2rsinc)2=(2sinb)2+(2sinc)2=4sin2b+4sin2c =4sin2b+4sin2(a+b)=41-cos2b2+41-cos2(a+b)2 =4-2cos2b-2cos(23+2b)=4-2cos2b-2(-12)cos2b-32sin2b)=4+3sin2b-cos2b =4+2sin(2b-6)

11、.由b(0,23)，得2b-6(-6,76)，于是sin(2b-6)(-12,1，4+2sin(2b-6)(3,6，所以b2+c2的范围是(3,6.点睛：本题考查正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5(1) abc为b=2的直角三角形(2) -19,13).【解析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角b的值，进而可判断三角形的形状；（2）由辅助角公式对已知函数fx先化简，然后代入可求得fa，结合（1）中的角b求得角a的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解详解：（）因为asinb-bcosc=ccosb，

12、由正弦定理可得sinasinb-sinbcosc=sinccosb即sinasinb=sinccosb+coscsinb，所以sin(c+b)=sinasinb因为在abc中，a+b+c=，所以sina=sinasinb又sina0，所以sinb=1，b=2所以abc为b=2的直角三角形 （）因为f(x)=12cos2x-23cosx+12 =cos2x-23cosx=(cosx-13)2-19所以f(a)=(cosa-13)2-19因为abc是b=2的直角三角形，所以0a2，且0cosa1，所以当cosa=13时，f(a)有最小值是-19所以f(a)的取值范围是-19,13)点睛：本题主要考

13、查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6(1)3(2)23【解析】分析：（1）根据题中的条件，结合余弦定理，可求得cosb=13，设bc=a,ac=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a，应用余弦定理，写出cosadb,cosbdc的值，根据两角互补，得到cosadb+cosbdc=0，得到m所满足的等量关

14、系式，求得结果；（2）利用同角三角函数关系式的平方关系求得sinb=223，根据余弦定理以及重要不等式得到ac3，利用三角形面积公式求得结果.详解：（）b2=a2+c2-23accosb=a2+c2-b22ac=13 在abc中,设bc=a,ac=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a 在abd和dbc中，由余弦定理可得：cosadb=4m2+163-4163m3,cosbdc=m2+163-a283m3又因为cosadb+cosbdc=04m2+163-4163m3+m2+163-a283m3=0得 3m2-a2=-6 由得a=3,m=1 bc=3.（2）cosb=13,b(0,)si

15、nb=1-cos2b=223 由b2=a2+c2-23ac4=a2+c2-23ac2ac-23ac=43acac3 （当且仅当a=c取等号） 由ad=2dc，可得sbdc=13sabc=1312acsinb13122233=23dbc的面积最大值为23.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，同角三角函数平方关系，基本不等式求最值，三角形面积公式，诱导公式等，正确使用公式是解题的关键.7(1)c=3.(2)(3,6.【解析】分析：（1）根据三角函数和差公式化简，得到角a、b、c的关系，以及a+b+c=即可求出角c。（2）设a=3-,b=3+，利

16、用正弦定理和外接圆直径为2，建立边和角的对应关系；再利用降幂公式，把a、b化成的表达式；利用角的取值范围即可求出a2+b2的取值范围。详解：（1）由sinccosc=sina+sinbcosa+cosb得sinccosa+sinccosb=coscsina+coscsinb即sin(c-a)=sin(b-c)，则c-a=b-c，即2c=a+b，即c=3.（2）由c=3，设a=3-,b=3+则-3-3则a2+b2 =(2rsina)2+(2rsinb)2=4(sin2a+sin2b)即a2+b2 =4(1-cos2a2+1-cos2b2)=4-2cos(23+2)+cos(23-2)=4+2co

17、s2由-3-3，则-23223-12cos213a2+b26，故a2+b2的取值范围是(3,6.点睛：本题综合考查了三角函数和差公式、正弦定理、降幂公式的综合应用，结合知识点多，化简较为复杂，属于难题。在三角函数问题中，边角转化是解决问题的核心，解题前要确认把角转化成边，还是把边转化成角。8（1）3；（2）12,34)【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为(a-c)(sina+sinc)=b(sina-sinb)，由正弦定理得(a-c)(a+c

18、)=b(a-b)，即a2+b2-c2=ab，则a2+b2-c22ab=12根据余弦定理得cosc=12又因为0c，所以c=3（2）因为c=3，所以2b=43-2a则cos2a+cos2b=1+cos2a2+1+cos2b2=1+12(cos2a+cos2b)=1+12cos2a+cos(43-2a)=1+12(12cos2a-32sin2a)=1+12cos(2a+3)因为三角形abc为锐角三角形且c=3，所以6a2则232a+343所以-1cos(2a+6)-12，所以12cos2a+cos2b34即cos2a+cos2b的取值范围为12，34)点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.9（1）2， ；（2）1【解析】试题分析：（1）先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将化为，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）以及角a的范围解得角a