北师大版九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系教学设计

1、圆周角和圆心角的关系九年级下册第三章第四节第一课时教学设计1 教学目标知识目标 ：理解圆周角的概念，掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算 .能力目标 ：经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力；通过渗透分类讨论、转化、归纳等数学思想方法，培养学生的探究意识和探索新知识的能力.情感目标 ：在探索圆周角和圆心角关系的过程中，引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心2 学情分析学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形

2、外角和定理初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法因此，本节课设计了自学和探究活动，给学生提供自主探索与交流的空间，体现知识的形成过程3 重点难点教学重点： 理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.教学难点：圆周角和圆心角关系定理的证明.4 教学过程活动一【导入】巧设情境激发兴趣第 1页课件展示：学生喜闻乐见的足球射门的场景。将实际图形抽象成几何图形，在球门前以球门 ac为弦划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。球员射中球门的难易与他所处的位置对球门ac的张角有关。当球员在 b，d，e 处射门时，他所处的位

3、置对球门ac分别形成三个张角 abc，adc， aec这三个角的大小有什么关系？【设计意图】 从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质活动二【新授】讲授新课探究新知（一）、圆周角定义问题 1：观察 aec、 abc、 adc的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？问题 2：回顾圆心角的特点？比较这三个角与圆心角有什么区别？问题 3：你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗？这三个角的共同点有两个：顶点都在圆周上；两边都与圆相交圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。【自测 1】请同学们根据定义回答下面问题： 在下列与圆有关的角中， 哪些是圆

4、周角？哪些不是，为什么？（只有2 是正确的）【自测 2】指出图中的圆周角 .【设计意图】为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例， 可以帮助学生对本质属性与非本质属性进行比较（二）、探究圆周角和圆心角之间的关系探究一：请同学们在圆上确定一条劣弧， 画出它所对的圆心角与圆周角观察圆周角与圆心角有几种位置关系请你动手画出 0 中 ac 所对的圆心角和圆周角，观察ac 所对的圆周角有几第 2页个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的ac 所对的圆心角和其所对的圆周角之间有什么关系？试改变 ac 的大小， ac 所对的圆心角与圆周角的关系还成立吗?小组交流：在你们所画的图中，

5、圆周角和圆心角有几种位置关系？学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充.教师投影展示学生所发现的几种位置关系，并让其他小组补充.师：通过画图，我们知道：以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数多个，但它们与圆心的位置关系只有三种，如图 2：圆心在圆周角的一边上 ,圆心在圆周角的内部 ,圆心在圆周角的外部 .【设计意图】 通过这种具有探索性与挑战性的活动，培养学生独立思考、合作交流的能力，渗透归纳思想，初步认识圆周角和圆心角这三种位置关系。探究二： 画出圆周角所对弧上的圆心角，观察、猜想两种角之间的大小关系改变圆心角 aoc的度数，你得到的结论还成立吗？教师引导学生画图发现 .学生画图、观察、测量、

6、猜想教师用几何画板演示它们之间的一半关系【设计意图】 如果直接进行圆周角定理的证明，可能有一定困难。通过圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明打好桥铺好路。学生小组讨论交流圆周角定理推理过程学生代表讲解推理过程（1）第一种情况：第 3页当圆心 o在圆周角 ( abc)的一边 ( bc) 上时，圆周角 abc与圆心角 aoc的大小关系 aoc是 abo的外角， aoc= b+a，oaobabaoc 2 b ，即1abcaoc2（2）第二种情况如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？当圆心 o在圆周角 ( abc) 的内部时，圆周

7、角 abc与圆心角 aoc的大小关系会怎样教师提示：能否转化为第一种情况？过点 b 作直径 bd，由第一种情况可得（3）第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？当圆心 o在圆周角 ( abc)的外部时，圆周角 abc与圆心角 aoc的大小关系会怎样?教师提示：能否转化为第一种情况？过点 b 作直径 bd，由第一种情况可得教师总结概括：先特殊，再一般，转化思想。圆心在内部时转化为两个角的和，圆心在外部时转化为两个角的差。出示圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半给学生一分钟时间体会反思圆周角定理的证明过程【设计意图】 充分给予学生探索与交流的时间和空间，体会将一般

8、情况转化成特殊情况的思维过程，理解添加辅助线的必要性，达到突破难点的目的。【自测 3】例 1、求圆中角 x 的度数第 4页【自测 4】例 2、如图，已知圆心角 aob=100，求圆周角 adb、 acb的度数？探究三：同弧所对圆周角的度数有什么关系当球员在 b，d，e 处射门时，他所处的位置对球门 ac分别形成的圆周角 abc，adc， aec这三个角的大小有什么关系 ?圆上一条弧所对的圆周角能做出几个？它们之间有什么关系？学生画图、测量、比较、发现、猜想 . 再试一试，并在小组内交流，归纳总结，最后在全班交流 .如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？教师总结概括圆周角定理推论：同弧或等弧所对

9、的圆周角相等【设计意图】 通过观察度量、实验操作、图形变换、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法另外，尽可能地从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达【自测 5】例 1、试找出下图中所有相等的圆周角。活动三【活动】自主学习合作探究例 1、如图， oa，ob，oc都是 o的半径， aob=2 boc， acb与 bac 的大小有什么关系？为什么？例 2、思考：圆中一条弦所对的圆周角有几个，它们都相等吗？第 5页学生作图学生利用投影展示，学生补充教师几何画板展示一条弦所对的圆周角有两种情况，优弧，劣

10、弧分别对着不同的圆周角教师给出具体条件进行计算（1）等于半径的弦对的圆周角（2）一条弦分圆周为1:2 两部分，求弦所对的圆周角给学生一分钟时间反思交流学生根据所学知识分析和解决问题，独立思考，完成练习.活动四【练习】达标检测及时反馈1、如图， abc内接于 o， boc=130，则a 的度数为（）.2、如图，abc内接于 o，abc=45，acb=75，则 boc的度数为（）.1 题图2 题图3、一条弦分圆为1： 4 两部分，求这弦所对的圆周角的度数？4、如图 3，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点a 处安装了一台监视器，它的监控角度是 65，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视

11、器台5、如图 5， o的直径 cd 过弦 ef 的中点 g ，eod40 ，则 dcf6、拓展练习：（1）如图，oa、ob、oc都是圆 o的半径，如果： aob=2boc求证： acb=2bac（2）如果 aoc=100，则abc=（）.第 6页（3）如果点 a、 b、 c 在o中， cab=25，acb=30, 求弦 ac所对圆周角的度数 .【设计意图】 在练习设计中，充分体现学生的分层 . 分层次练习很好地尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需求，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展” 的新课程理念 . 通过练习使学生进一步认识圆周角和圆心角之间的关系，同时培养学生分析解决问题的能力，从而达到触类旁通的效果 .活动五【活动】课堂小结知识内化1、什么是圆周角？它和圆心角有什么不同？2、圆周角和圆心有几种位置关系？3、圆周角和圆心角的关系定理是什么？它使用的前提条件是什么？4、你是如何证明圆周角和圆心角之间的关系的？证明