第1章 矢量分析与场论.ppt

1、电磁场与电磁波,鞠秀妍,课程体系,抽象看不见、摸不着 复杂时域、频域、空域、极化 要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像力 应用广泛,课程特点,电磁场理论的发展史,1785年法国库仑(17361806)定律 1820年丹麦奥斯特(17771851)发现电流的磁场 1820年法国安培(17751836)电流回路间作用力 1831年英国法拉第电磁感应定律 变化的磁场产生电场 1873年英国麦克斯韦(18311879) 位移电流时变电场产生磁场 麦氏方程组 1887年德国赫兹(18571894) 实验证实麦氏方程组电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼电磁波传消息 无线电 当今电信时代“电

2、”、“光”通信,电磁应用,射线 医疗上用射线作为“手术刀”来切除肿瘤 x 射线 医疗、飞机安检，X射线用于透视检查 紫外线 医学杀菌、防伪技术、日光灯 可见光 七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）,红外线 在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应） 微波 军事雷达、导航、电子对抗 微波炉 无线电波 通信、遥感技术,本章主要内容,1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理,1.1矢量及其代数运算,1.1.1标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称

3、为标量， 例如， 电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示成 A=aA 其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A其大小等于1。,一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。 空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点

4、P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为 r=axX+ayY+azZ,图1-1 直角坐标系中一点的投影,X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、 az 可以将矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2,1.1.2矢量的加法和减法 矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量,1.1.3矢量的乘积

5、矢量的乘积包括标量积和矢量积。 1） 标量积 任意两个矢量A与B的标量积 (Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它 们夹角的余弦之乘积，如图 1-2所示， 记为 AB=AB cos,图1-2 标量积,例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay=ayaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为 AB=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC,2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量

6、的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3所示，记为 C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）,图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋,矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即 AB= -BA A(B+C)=AB+AC,直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz= 0 在直角坐标系中， 矢

7、量的叉积还可以表示为,=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx),结论,矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则 任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量 如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然互相垂直 如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然互相平行,1.2 圆柱坐标系和球坐标系,1.2.1 圆柱坐标系 空间任一点P的位置 可以用圆柱坐标系 中的三个变量 来表示。,圆柱坐标系中也有三个相互垂直的坐标面。 平面 表示一个以z轴为轴线的半径为 的圆柱面。 平面 表示一个以z为界的半平面。 平面z=常数 表示一

8、个平行于xy平面的平面。,圆柱坐标系中的三个单位矢量为 ,分别指向 增加的方向。三者始终保持正交关系。（课本P4） 圆柱坐标系的位置矢量 圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系的单位矢量之间的关系：,矩阵形式：,三个坐标面的面元矢量与体积元：,1.2.2球坐标系： 球坐标系中，空间任意一点P可用三个 坐标变量（ )来表示。,球坐标系也有三个坐标面： 表示一个半径为r的球面。 坐标面 =常数，表示一个以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面。 坐标面 表示一个以z轴为界的半平面。,球坐标系的位置矢量可表示为： 球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手螺旋法则。（课本P6）,球坐标系与直角坐标系的单位矢量

9、的转换：,面元矢量和体积元：,1.3 矢量场,1.3.1矢量场的矢量线 矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标中，可以表示成如下形式：,矢量线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。如电力线，磁力线等。 矢量线方程： 直角坐标系中，其表达式为：,例1-2 求矢量场A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为,从而有,解之即得矢量方程,c1和c2是积分常数。,1.3.2矢量场的通量及散度,将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS，即,n是面元法线方向的单位矢量。,A与面元dS

10、的标量积称为矢量场A穿过dS的通量,将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：,如果曲面是一个封闭曲面，则,2、矢量场的散度,哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，引入一个矢性微分算子： 在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子，是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数A的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散度的表达式可以写为,结论,divA是一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，即在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。 它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。 当divA0，表示矢量场A在该点处有散

11、发通量的正源，称为源点； divA0,表示矢量场A在该点处有吸收通量的负源，称为汇点；divA=0，矢量场A在该点处无源。 divA0的场是连续的或无散的矢量场。,3、高斯散度定理 矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分.,例 :球面S上任意点的位置矢量为r=xax+yay+zaz，求,解： 根据散度定理知,而r的散度为,所以,1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义 设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量，记作 矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分量

12、。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入矢量场旋度的概念。,若环量不等于0，则在L内必然有产生这种场的旋涡源，若环量等于0，则在L内没有旋涡源。,矢量场的环量,闭合曲线方向与面元的方向示意图,2、矢量场的旋度,1）旋度的定义 设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元S，其周界为l，它的正向与面元S的法向矢量n成右手螺旋关系。当曲面S在P点处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式缩向P点，取极限,若极限存在，则称矢量场A沿L正向的环量与 面积S之比为矢量场在P点处沿n方向的环量 面密度，即环量对面积的变化率。,必存在一个固定矢量R，它在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，R的

13、方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称固定矢量R为矢量A的旋度。旋度为一矢量。 rotA=R 旋度矢量在n方向上的投影为：,直角坐标系中旋度的表达式为：,一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的环量，描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。 若旋度不等于0，则称该矢量场是有旋的，若旋度等于0，则称此矢量场是无旋的或保守的 旋度的一个重要性质： 任意矢量旋度的散度恒等于零， 即 ( A)0,如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 B=0 则有 B= A,3、斯托克斯定理,矢量分析中另一个重要定理是,称之为斯托克斯定理，其中S

14、是闭合路径l所围成的面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。该式表明：矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。,例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求： （1） 该矢量场的旋度; （2） 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分， 如图所示， 验证斯托克斯定理。,四分之一圆盘,例： 求矢量A=-yax+xay+caz(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量(见图 1-6)。,解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。,例:求矢量场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ax+6

15、ay+3az方向的环量面密度。 解： 矢量场A的旋度,在点M(1，0，1)处的旋度,n方向的单位矢量,在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度,1.4 标量场,一个仅用大小就可以完整表征的场称为标量场 等值面 方向导数 梯度 梯度的积分,1、等值面 为考察标量场的空间分布，引入等值面的概念。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，标量 是场中点 的单值函数，它可表示为 而 是坐标变量的连续可微函数，令 随着C的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值均为C。这样的曲面称为标量场u的等值面。,例如温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面；电位场中的等值

16、面，就是由电位相同的点组成的等位面。 如果某一标量物理函数u仅是两个坐标变量的函数，这种场称为平面标量场（即二维场），则u(x, y)=C （C为任意常数） 称为等值线方程，它在几何上一般表示一组等值曲线。场中的等值线互不相交。如地图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等都是平面标量场的等值线的例子。,2、方向导数 为了研究标量函数在场中各点的邻域内沿每一方向的变化情况，引入方向导数。 当上式极限存在，则称它为 函数u(P)在点P0处沿 方向 的方向导数。,方向导数的计算公式： 在直角坐标系中，设 在点P0（x0,y0,z0）处可微，则有 点P0至P点的距离矢量为 若 与 轴的夹角分别为

17、 ,则 同理有 , 也称为 的方向余弦。,例：,求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为,或,例:求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿 l=ax+2ay+2az方向的方向导数。 解：l方向的方向余弦为,而,数量场在l方向的方向导数为,在点M处沿l方向的方向导数,3、梯度 方向导数解决了函数U(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？ 对同样的U的增量du

18、，存在着最大的空间增长率，即最大的方向导数。很明显，沿等值面的法线方向的方向导数最大，其距离最短。 因此可定义用来表示一个标量最大 空间的增长率的大小和方向的矢量G， 就是标量的梯度。,梯度公式： 梯度又可以表示为算子与标量函数相乘： 标量拉普拉斯算子： 直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式：,4、梯度的性质： 方向导数等于梯度在该方向上的投影： 在标量场中任意一点P处的梯度垂直于过该点的等值面，或说等值面法线方向就是该点的梯度方向 由此，可将等值面 上任一点单位法向矢量表示为：,梯度的旋度恒等于零：,5、梯度的积分 设标量场 u,标量场梯度F是一个无旋场，则由斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零：,这说明积分与路径无关，仅与始点P1和终点P2的位置有关。 选定P1为参考点，P2为任意动点，则P2点的函数值可以表示成： 如果已知一个无旋场，选定一个参考点，就可求得其标量场u.,结论：,1.5 亥姆霍兹定理,矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场性质的重要度量。换言之，一个矢量场所具有的性质，可完全由它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可以由它的梯度来表明。亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结说明。 无旋场的散度不能处处为零，同样，无散场的旋度也不能处处为零，否则矢量场就