随机微分方程

1、一、一维分岔考虑一维随机微分方程生成的连续动态系统 它是以 x为初值的（6.1-41）之唯一强解。假定从而0是的一个固定点。对此固定点，dB(t)是随机参激。设m(x)有界，对所有满足椭圆性条件这保证最多只有一个平稳概率密度。求解与（6.1-41）相应的平稳FPK方程得平稳概率密度于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。前者的不变测度的密度为，后者的不变测度的密度为（6.1-45）。为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov指数。为此，考虑（6.1-41）的线性化方程利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解动态系统关于测度

2、的Lyapunov指数定义为（6.1-47）代入（6.1-48），注意，得不动点Lyapunov指数对以（6.1-45）为密度的不变测度，（6.1-47）代入（6.1-48），假定有界，可积，得Lyapunov指数进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形生成的动态系统族jaja（6.1-53）是以 x为初值的（6.1-52）之解。先作变换，将（6.1-52）化为关于Y的线性It随机微分方程，再按2.5.3中方法得（6.1-53）。时，该动态系统存在确定性跨临界分岔。时，对应于两个确定性平衡状态与有两个遍历不变测度。一个不变测度为，其密度为，对所有

3、值成立。另一个不变测度的密度在时为式中-按（6.1-49），关于不动点不变测度的Lyapunov指数为由（6.1-51）与（6.1-54），可得关于非平凡平稳状态不变测度的Lyapunov指数可知，不动点不变测度在时稳定，而非平凡平稳状态不变测度在时稳定，从而，是一个D-分岔点。对概率密度（6.1-54）作极值分析知，除（是一个D-分岔点，也可看成是一个P-分岔点，因为从负变正，概率密度从函数变成峰在上的普通概率密度）外，在处发生P-分岔。当时，概率密度在处最大，随 x单调下降。而时，概率密度在处有一个峰，且。随机叉形分岔 考虑（6.1-41）的另一个特殊情形生成的动态系统时，动态系统有确定性

4、叉形分岔；时，只有唯一的不变测度，其密度为。时，与确定性动态系统的三个平衡状态相对应有三个不变测度：与两个非平凡平稳状态测度，其密度为 式中。按（6.1-49）可得关于的Lyapunov指数由（6.1-51）、（6.1-60）及（6.1-61）可得关于的Lyapunov指数可知，在处发生D-分岔。对概率密度（6.1-60）作极值分析知，在处发生P-分岔。二、二维分岔考虑 Gauss白噪声参激的 Duffing-van der Pol振子(有两个参数与。已知，在时，固定，改变，可发生叉形分岔；固定，改变，可发生Hopf分岔。随机Hopf分岔 设，固定，增大使之穿越。从数值求解与（6.1-64）相

5、应的平稳 FPK 方程观察到26,当足够负时，概率密度为在（0，0）上的函数，说明（0，0）是稳定平衡状态。当增大至时，出现峰在（0，0）上的非平凡平稳概率密度，说明此时（0，0）是不稳定的平衡状态，实际上是一个D-分岔点。继续增大至，非平凡概率密度变成火山口形，因此，是一个P-分岔点。被Ebeling27称为“分岔区”。这是随机 Duffing-van der Pol振子的 P-分岔过程。 为研究随机 Duffing-van der Pol振子的D-分岔，需计算（6.1-64）在（0，0）处线性化方程的Lyapunov指数。当时，已证25两个 Lyapunov指数为式中是下列扩散过程平稳测度

6、的二阶矩：在处从负变正，在处从负变正，b 对小值，用摄动法求得式中在处从负变正，在处从负变正。 Keller与Ochs29通过数值分析发现，当（即）时（0，0）是全局吸引子。当（即）时（0，0）变成不稳定鞍点，它的一维不稳定流形的闭包是一个“混沌”吸引子，闭包的横截面像Canton集。当（即）时，（0，0）是不稳定节点，它的二维不稳定流形的边界是在穿孔平面上新吸引子，该边界也有像Canton集的横截面。随机叉形分岔 在（6.1-64）中，固定，让从负变正。从相应平稳FPK方程的数值解知，直至稍大于零，是唯一的不变测度。当时，产生一个非平凡的平稳测度，它的密度在（0，0）处有一个峰；继续增大，非平凡平稳测度的密度有两个峰，可知，随增大，先后经历了一次D-分岔与一次P-分岔