实变函数与泛函分析5

1、第三节 lesbesgue积分与riemann积分的关系,第五章 积分论,本节主要内容: 若f(x) riemann可积，则f(x)在a,b上lebesgue可积，且积分值相等 f(x) riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集,darboux上、下积分,对a,b作分划序列,令（对每个i及n）,darboux上积分,darboux下积分,引理：设f(x)在a,b上为有界函数，记(x)为a,b上的振幅函数，则,故(x)为a,b上的可测函数，从而f(x) l可积。,证明：由于f(x)在a,b上为有界函数， 故(x)为a,b上有界函数，,又对任意实数t， 为闭集，,引理的证明,引

2、理的证明,从而结 论成立,上述过程反之也成立。,从而f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集，,引理：设f(x) 是e上有限实函数，则f(x)在x0e 处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0,证明参照教材p-102,2.lesbesgue积分与riemann积分的关系(lebesgue积分是对riemann积分的推广),定理：若f(x)在a,b上riemann可积，则f(x)在a,b上lebesgue可积，且,证明： f(x)在a,b上riemann可积， 故f(x)在a,b上几乎处处连续，,从而f(x)在a,b上有界可测，并且lebesgue可积，,lesbesgue积分与riema

3、nn积分的关系的证明,其次， 对a,b的任一分划,根据lesbesgue积分的可加性，我们有,lesbesgue积分与riemann积分的关系的证明,对上式左、右端关于一切分划各取 上、下确界，即得,例,注：lebesgue积分与广义riemann积分无必然联系,例：f(x)有无穷积分, 但不lebesgue可积.,注：lebesgue积分与广义riemann积分无必然联系,例： f(x)有暇积分但不lebesgue可积,例 设f(x)是a,b上lebesgue可积函数，如果对任意实数c(0 c 1)总有那么f(x)=0 a.e.于0,1,教材p122有另一种证明写法： 证明中用到了积分的绝对

4、连续性,从而有f(x)在f上几乎处处为0,所以f(x)=0 a.e.于0,1,证明（续）,第四节 lesbesgue积分的几何意义与fubini定理,第五章 积分论,主讲：胡努春,重积分与累次积分,f(x,y)连续,1.截口定理,证明参照教材p-136分六种情况讨论： 区间，开集， 型，零集，有界可测 集，一般可测集,定理1 设 是可测集，则,(1)对rp中几乎所有的x，ex 是rq中的可测集,m(ex)作为x的函数，它在rp上几乎处处 有定义，且是可测函数；,2.lebesgue积分的几何意义,定理2：设a,b分别是rp和rq中的可测集， 则ab是rp+q中的可测集， 且m(a b) = ma mb,证明参照教材p-139,2.lebesgue积分的几何意义,证明参照教材p-139,则f(x)是e上可测函数当且仅当 g(e;f)=(x,y)| xe，0y f(x) 是rn+1中的可测集;并且有,定理3 设f(x)为可测集 上的非负函数，,3.fubini定理,证明参照教材p-140,(1)设 f(p)=f(x,y)在 上可积， 则对几乎所有的x a, f(x,y)作为y的函数在b上 可积， 作为x的函数在a上可积,且,先重积分后累次积分,3.fubini定理,证明参照教材p-140,(2)设f(x)是