liu8-1向量及其线性运算

1、高 等 数 学,-同济六版下册,驶向胜利的彼岸,同学们好！,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,高等数学主要内容,多元微积分,(下册),(下册),(上册),具体要求：,1.重视每一节课.,2.注意应用对比的方法学习.,华罗庚：学习数学，不做练习，如入宝山而空返.,3.独立按时完成作业.,?,参考书目：,1.高等数学,吴赣昌 编,4.历届数学考研试题研究,潘鼎坤 编著,2.高等数学习题详解、释疑、指导,3.高等数学辅导,陈文灯 主编,武忠祥 编著,5.高等数学习题全解指南（上、

2、下）,同济大学编 高等教育出版社,5.常见的二次曲面及其图形；,数量关系 ,第八章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,4.平面、曲面、空间曲线、空间直线 及其方程；,1.空间直角坐标系,2.向量及其线性运算；,3.向量的坐标、数量积、向量积；,1、了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及线 段的定比分点公式； 2、理解向量概念，熟悉单位向量、向量的方向余弦及 向量的坐标表示，熟悉向量在空间有向线段上的投 影与向量的分解； 3、掌握向量的线性运算（加法、减法和向量与数的乘

3、法）、数量积（点乘）和向量积（叉乘）； 4、熟悉两向量间夹角及两向量平行、垂直的条件； 5、理解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其 图形；,基本要求,6、了解空间曲线方程的概念，熟悉空间曲线的参数方 程及其在坐标面上的投影曲线方程； 7、熟悉平面的点法式、一般式和截距式方程，了解两 平面的夹角及平行、垂直的条件； 8、熟悉空间直线的参数式、一般式和对称式方程，熟 悉两直线的夹角和平行、垂直的条件，熟悉直线与 平面的夹角、交点和平行、垂直的条件；,基本要求（续）,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及

4、其线性运算,第八章,8-1向量及其线性运算,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,自由向量:,与起点无关的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,复习,相等向量:,相等,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,两向量的夹角:,规定: 零向量与任何向量平行 ;也可理解为零向量,记作,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,平行向量:,垂直向量:,共面向量:,(平行向量可平移到同一直线上).,记作

5、,与任何向量都垂直.,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,折线法则,2. 向量的减法,注意:,首首相接，,尾尾相连，,方向指向被减量.,方法：,几个向量的和与差,三角不等式:,仍是向量.,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,总之:,可见,(2)运算律 :,结合律,分配律,(1)定义 :,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,(存在 唯一实数),显然,取 ,反向时取负号,且,再证数 的唯一性 .,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,(存在 唯一实数),说明：定理1是建立数轴的理论依据.

6、,我们知道：给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.,由定理1知:存在 唯一实数 x 使,于是有:,向量,点 P,实数,结论：,例1.,设,为,轴上坐标为,的任意两点，,又,为与,轴正向一致的单位向量.,验证：,回顾平面直角坐标系：,o,(一)空间坐标系的建立,定义：,由原点重合且互相,垂直的三条数轴(单位一般,一致)，,而且三条数轴的正方,向符合右手系.,即构成一个空间直角坐标系.,右手系：,即以右手握住z轴，,当右手的四个手指从,大拇指的,三、空间直角坐标系,基本单位向量：,面,面,面,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),坐标原点,坐标轴,坐标面,卦限(八个),三个坐标平面将整个

7、空间分成八个部分空间,空间直角坐标系共有八个卦限,我们知道：,(二)点的坐标，向量的坐标,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,结论：在空间直角坐标系下,向径,点 M,有序数组,也称为点 M 的坐标.,定义：在空间直角坐标系下，,说明：,有,(1)原点 O(0,0,0) ;,3)一些特殊点的坐标表示:,(3)坐标面上的点.,(2)坐标轴上的点;,(4)各卦限坐标的符号：,(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,-),(+,-,-).,关于原点：,(x,y,z),(-x,-y,-z),关于xoy面：,(x,y,z),(-x,-y,z).

8、,(x,y,z),(x,y,z),(x,-y,-z),(-x,y,z);,(x,-y,z).,(x,y,-z)；,关于yoz面：,关于xoz面：,关于x轴的,关于y轴的,(-x,y,-z),关于z轴的,(x,y,z),(x,y,z),(x,y,z),(5)点M(x,y,z)的对称点,思考： 点M(x,y,z) 到各坐标轴、坐标面的距离怎么计算？,设,四、利用坐标作向量的线性运算,平行向量对应坐标成比例:,例2. 已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,说明:,定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点坐标公式:,五、向量的模、方向角

9、、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,解:,则设该点为,依题意有,即,两边平方，解得：,则所求的点为：,例3.,在,轴上求与点,和点,等距离的点.,因为点M在z轴上，,例4. 已知两点,解:,2. 方向角与方向余弦,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例5.,已知,求,的模，,方向,余弦及方向角.,解:,则方向角分别为：,例6. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,3.向量在轴上的投影,(1) 定义：,再过点A作轴 u 的垂直平面与,轴u的交点为,对于给定的u轴(原点O和单位向量 )及向量,称为点A在u轴上的投影.,则交点,由此定义知：若,则,故向量的投影与坐标有相同的性质.,(2)投影性质,如图：,一般地：,向量的模乘以轴与,向量的夹角的余弦，即,性质1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相等.,性质2：,(可推广到有限多个),性质3：,(为实数),设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且,解： 如图所示, 记 MOA = ,例7.,内容小结,1