平面向量的概念及线性运算幻灯片

1、第五模块平面向量,第二十三讲,平面向量的概念及线性运算,1,2020/3/20,回归课本,2,2020/3/20,1.,向量的概念,(1),把既有,大小,又有,方向,的量叫做向量,.,(2),把只有大小,没有方向的量,(,如年龄,?,身高,?,长度,?,面积,?,体积,?,质量等,),称为,数量,.,(3),向量的大小叫做向量的,长度,(,或模,).,长度为零,的向量叫零向,量,记作,0,零向量的方向,任意,规定零向量与任意向量,平行,(,共线,),.,3,2020/3/20,(4),相等向量是指,大小相等,方向相同,的向量,;,相反向量是指,大,小相等,方向相反,的向量,规定零向量的相等向量

2、是,0,零向,量的相反向量是,0,.,(5),方向相同或相反的向量叫,平行向量,也叫,共线向量,.,长度为,1,的向量叫做,单位向量,.,4,2020/3/20,2.,向量的线性运算,(1),向量加法的定义,已知向量,a,?,b,如图,平面内任取一点,A,作,b,再作,则,叫做,a,与,b,的和,记作,a+b.,AB,a,BC,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,AC,u,u,u,r,AC,u,u,u,r,5,2020/3/20,即,求两个向量和的运算叫做向量的,加法,.,.,a,b,AB,BC,AC,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,6,2020/3/20,

3、(2),向量求和的三角形法则,利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求,和的,三角形,法则,.,在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即,两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量,终点,的向量,.,7,2020/3/20,(3),向量求和的平行四边形法则,已知两个不共线向量,a,?,b,作,对,A,?,B,?,D,三点,不共线,以,AB,?,AD,为邻边作,平行四边形,ABCD,则对角线上,的向量是,=,a+b,这个法则叫做两向量求和的,平行四,边形,法则,.,AB,a,AD,b,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,AC,u,u,u,r,8,2020/3/20,(4),

4、向量的减法,向量,a,加上向量,b,的,相反向量,叫做,a,与,b,的差,记作,a-b,若,则,(5),实数与向量积的定义,:,实数,与向量,a,的积是一个,向量,记作,a,|a|=,|a|,当,0,时,a,与,a,方向,相同,;0,时,a,与,a,方向,相反,;=0,时,a=,0,.,OA,a,OB,b,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,.,a,b,BA,?,?,u,u,u,r,9,2020/3/20,(6),向量的加法,?,减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量,的,线性,运算,.,向量加法的交换律表达式为,a+b=b+a,;,向量加,法的结合律表达式为,(a+b)+c=a+(b+c

5、),.,若,为实数,则,(+)a=,a+a,(a)=,a,(a+b)=,a+b,.,10,2020/3/20,3.,向量共线的条件,平行向量基本定理,:,如,a=b,则,a,b,如果,a,b(b0),则存在,惟,一实数,使,a=b,.,11,2020/3/20,考点陪练,12,2020/3/20,1,.(2010,),ABC,D,AB,CD,ACB,a,1,(,),1,2,2,1,.,.,3,3,3,3,3,4,4,3,.,.,5,b,2,5,5,5,CB,a,CA,b,CD,A,a,b,B,a,b,C,a,b,D,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r

6、,u,g,ur,V,u,全国,中,点,在边,上,平分,若,则,13,2020/3/20,|,|,2,2,2,|,|,3,2,2,2,:,CD,A,1,(,),3,3,3,3,2,1,.,3,CB,3,AD,AC,b,AD,DB,AB,CD,DB,BC,a,CA,AD,CA,AB,CA,CB,CA,CB,CA,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,解析,

7、如图,平分,由角平分线定理得,所以,所以,答案,:B,14,2020/3/20,2,1,1,2,1,.,ABCD,AC,BD,O,E,OD,AE,.,.,4,2,3,3,1,1,1,2,.,.,2,4,3,3,CD,F,(,),AC,a,BD,b,AF,A,a,b,B,a,b,C,a,b,D,a,b,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,在平行四边形,中,与,交于点,是线段,的中点,的延长线与,交于点,若,则,等于,15,2020/3/20,:,AF,AD,DF,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,解析,如图,DE,:,BE,1:,3,DF

8、,:,AB,1,.,3,1,1,1,1,1,2,1,(,),.,2,D,2,F,2,3,2,3,3,AB,AF,a,b,a,b,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,g,由题意知,答案,:B,16,2020/3/20,3.,A,B,C,m,n,(,),m,AB,BC,n,AB,BC,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,平面上有三点,?,?,设,若向,量,的长度恰好相等,则有,A.A,?,B,?,C,三点必在同一直线上,B.,ABC,必为等腰三角形且,B,为顶点,C.,ABC,必为直角三角形且,B,为直角,

9、D.,ABC,必为等腰直角三角形,17,2020/3/20,:,ABCD,m,n,ABCD,AB,CD,ABC,B,.,AB,BC,BC,AD,m,AB,BC,n,AB,BC,DB,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,V,解析,以向量,为邻边构造平行四边形,如图,则,所以,向量,的长度相等,即平行四边形,对角线长度相等,所以,为矩形,故,必为直角三角形且,为直角,答案,:C,18,2020/3/20,3,4.,O,A,B,C.,0,(,),2,|,|,|,|,

10、1,1,.,.,.1,.2,3,2,OA,OB,OC,AB,BC,A,B,C,D,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,已知平面上不共线的四点,若,则,等于,3,2,0,(,),2(,),0,|,|,2,:,0,2,2.,|,|,OA,OB,OC,OA,OB,OC,OB,AB,BA,BC,BA,BC,BC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r

11、,u,u,u,r,u,u,u,r,解析,答案,:D,19,2020/3/20,5.,ABC,A,B,C,P,P,AB,0,C,(,),A.,B.,C.,D.,PA,PB,PC,?,?,?,u,u,u,r,u,u,V,V,u,r,u,u,u,r,已知,的三个顶点,?,?,及平面内一点,满足,则,点是,的,外心,内心,重心,垂心,:,PA,PB,APBD.,C,P,D,|,AB,|,|,|,|,|,2,|,|,PD,P,.,PA,PB,PD,PD,PC,PC,PD,PC,PO,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u

12、,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,解析,以,?,为邻边作平行四边形,如图所示,则,即,?,?,三点共线且,又,?,互相平分,即,为重心,答案,:C,20,2020/3/20,类型一,向量的有关概念,解题准备,:,准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键,.,共线向量即为平行向量,非零向量平行具有传递性,两个向,量方向相同或相反就是共线向量,与向量长度无关,两个向,量方向相同且长度相等,才是相等向量,.,共线向量或相等向,量均与向量起点无关,.,21,2020/3/20,【典例,1,】判断下列命题是否正确,(1),若,|a|=|b|,则,a=b;,(2),若,A,?,B,?

13、,C,?,D,是不共线的四点,则,是四边形,ABCD,为平行四边形的充要条件,;,(3),若,a=b,b=c,则,a=c;,(4)a=b,的充要条件是,AB,DC,?,u,u,u,r,u,u,u,r,|,|,|,|,;,a,b,a,b,?,?,?,?,22,2020/3/20,(5)|a|=|b|,是,a=b,的必要不充分条件,.,(6),平行向量就是共线向量,;,(7),相反向量一定是平行向量,;,(8),平面内,4,个不同点,A,?,B,?,C,?,D,共线的充要条件是存在非零实,数,k,使得,(9),已知,a,是任一个非零向量,则,是一个单位向量,.,;,AB,kCD,?,u,u,u,r

14、,u,u,u,r,|,|,a,a,23,2020/3/20,解,(1),不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相,同,因此,由,|a|=|b|,不能推出,a=b.,(2),正确,且,又,A,?,B,?,C,?,D,是不共线的四点,四边形,ABCD,是平行四边形,.,反之,若四边形,ABCD,是平行四边形,则,且,与,方向相同,因此,|,|,|,|,AB,DC,AB,DC,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,AB,DC,u,u,u,r,u,u,u,r,AB,DC,u,u,u,r,u,u,u,r,AB,u,u,u,r,DC,u,u,u,r,.,AB,

15、DC,?,u,u,u,r,u,u,u,r,24,2020/3/20,(3),正确,a=b,a,?,b,的长度相等且方向相同,.,又,b=c,b,?,c,的长度相等且方向相同,.,a,?,c,的长度相等且方向相同,故,a=c.,(4),不正确,当,a,b,且方向相反时,即使,|a|=|b|,也不能得到,a=b.,故,不是,a=b,的充要条件,而是必要不充分条件,.,(5),正确,|a|=|b|,?,a=b,但,a=b,?,|a|=|b|.,|a|=|b|,是,a=b,的必要不充分条件,.,|,|,|,|,a,b,a,b,?,?,?,?,25,2020/3/20,(6),正确,.,不同于平面几何中

16、的平行与共线的概念,向量的平行,与共线是同一概念,.,(7),正确,.,由相反向量的定义可知,(7),正确,.,(8),不正确,.,点的共线与向量的共线是不同的概念,.,(9),正确,.,由单位向量的定义可知模长为,1,的向量即为单位向量,而,答案,(1)(4)(8),不正确,(2)(3)(5)(6)(7)(9),正确,1.,|,|,a,a,?,26,2020/3/20,反思感悟,熟练掌握有关基本概念是解决此类小题的关键,.,27,2020/3/20,类型二,向量的线性运算及应用,解题准备,:1.,向量的加法,:(1),定义,:,求两个向量和的运算,叫做,向量的加法,;(2),法则,:,三角形

17、法则,平行四边形法则,;(3),运算,律,:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).,2.,向量的减法,:(1),定义,:,求两个向量差的运算,叫做向量的减,法,;(2),法则,:,三角形法则,.(3),常用于向量式的,化简,.,AB,AC,CB,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,28,2020/3/20,3.,实数与向量的积,:(1),定义,:,实数,与向量,a,的积是一个向量,记,作,a,规定,:|a|=|a|.,当,0,时,a,的方向与,a,的方向相同,;,当,0,时,a,的方向与,a,的方向相反,;,当,=0,时,a=0.,由此可,见,总有,a,与,a,平

18、行,;(2),运算,律,:(ua)=(u)a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b.,29,2020/3/20,1,(,),4.,:,M,AB,.,O,2,OM,OA,OB,?,?,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,线段中点的向量表示,若,是线段,的中点,是平面,内任一点,则,30,2020/3/20,2,D,E,ABC,AB,AC,M,N,DE,BC,a,b,.,BC,a,BD,b,DE,CE,MN,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,V,u,r,u,u,u,u,r,【典例,】如图所示,、,分别是,中,、,边的中点,、,分别是,、,的中点,已

19、知,试用,、,分别表示,、,和,31,2020/3/20,1,.,2,1,1,.,2,2,1,1,.,2,2,1,1,2,2,1,1,DE,1,.,4,2,4,BC,DE,BC,DE,a,CE,CB,BD,DE,a,b,a,a,b,MN,MD,DB,BN,ED,DB,BC,a,b,a,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u

20、,r,u,u,u,r,解,由三角形中位线定理知,故,即,32,2020/3/20,反思感悟,在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形,中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运,用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等,向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四,边形法则,充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边,成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量,有直接关系的向量来求解,.,33,2020/3/20,类型三,数乘向量与共线向量定理的应用,解题准备,:(1),向量共线是指存在实数,使两向量互相表示,.,(2),向量共线的充要条件中,通常只有非零向

21、量才能表示与之,共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想,.,(3),证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共,线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,.,34,2020/3/20,?,?,?,?,3,a,b,1,:,A,2,8,B,D,.,2,k,ka,b,a,k,.,3(,).,b,AB,a,b,BC,a,b,CD,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,【典例,】设两个非零向量,与,不共线,若,求证,?,?,三点共线,试确定实数,使,和,共线,?,?,2,8,3(,),2,8,3,(,),2

22、,8,3,3,5(,),5,1,B,A,B,D,.,.,AB,a,b,BC,a,b,CD,a,b,BD,BC,CD,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,AB,AB,BD,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,Q,Q,解,、,共线,又,它们有公共点,、,、,三点共线,35,2020/3/20,(2),ka+b,与,a+kb,共线,存在实数,使,ka+b=(a+kb),即,ka+b=a+kb.,(k-,

23、)a=(k,-1)b.,a,、,b,是不共线的两个非零向量,.,k-,=k,-1=0,k,2,-1=0.,k=,1.,36,2020/3/20,反思感悟,(1),向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意,待定系数法的运用和方程思想,.,(2),证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共,线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线,.,37,2020/3/20,错源一,忽视零向量性质致误,【典例,1,】下列叙述错误的是,_.,若,a,b,b,c,则,a,c;,若非零向量,a,与,b,方向相同或相反,则,a+b

24、,与,a,、,b,之一的方,向相同,;,|a|+|b|=|a+b|,a,与,b,方向相同,;,向量,b,与向量,a,共线的充要条件是有且只有一个实数,使得,b=a;,若,a=b,则,a=b.,0;,AB,BA,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,38,2020/3/20,剖析,忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四,个结论都与此有关,;,另外两个相反向量的和是一个零向量,不是实数零,;,最后一个结论可能忽视了,=0,的情况,.,39,2020/3/20,正解,这六个命题都是错误的,因为对于,当,b=0,a,不一定与,c,平行,;,对于,当,a+b=0,时,其方向任意,它与,a,、

25、,b,的方向都不相同,;,对于,当,a,、,b,之一为零向量时结论不成立,;,对于,当,a=0,且,b=0,有无数个值,;,当,a=0,但,b0,不存在,.,对于,由于两个向量之和得到的仍是一个向量,所以,对于,当,=0,时,不管,a,与,b,的大小与方向如何,都有,a=b,此,时不一定有,a=b.,0.,AB,BA,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,40,2020/3/20,答案,评析,零向量的特殊性,零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为,0,其方向,是任意的,零向量与任意向量都共线,.,它在向量中的位置正,如实数中,0,的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考,虑不到就

26、会出错,考生应给予足够的重视,.,41,2020/3/20,错源二,错用实数运算律或运算法则,|,2,ABCD,a,b,c,_.,|,1,|,|,2,AB,AD,AB,a,BC,b,BD,c,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,【典例,】如图,已知矩形,设,则,42,2020/3/20,错解,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=,剖析,上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错,.,3,5.,?,|,|,|,|,|,|,|,|,2,|,|,4,.,a,b,c,AB,BC,BD,AB,BD,AD,AD,AD,AD,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,正解,由向量的三角形法则有,答案,4,43,2020/3/20,技法一,数形结合思想,【典例,1,】已知任意四边形,ABCD,O,为其内部一点,且满足,试确定该点的位置,.,解题切入点,条件中涉及四个向量的和的问题,为了利用向量,的加法法则,我们可把四个向量之和的问题,转化为向量两,两相加的情形来解决,.,0,OA,OB,OC,OD,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,