与二次函数有关的存在性问题

1、与二次函数有关的存在性问题1、如图，已知抛物线与轴交于两点，在的左侧，坐标为 与轴交于点 的面积为6.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴与直线相交于点点为轴上一点，当以为顶点的三角形与相似时，请你求出的长度；(3)设抛物线的顶点为在线段上方的抛物线上是否存在点 使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.A B C D O M x y 2、如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 直角梯形CBAO的边OC在y轴的负半轴上，OA在x轴的正半轴上，AOC=90，且OA=OC=3,BC=2。(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；(2)将线段OA绕O逆时针旋转45

2、，交对称轴于点F，连接CF，已知点M是抛物线上一动点，且M的横坐标为a，且a1,当点M运动到直线y=1的下方时，设CFM的面积为S，试写出S与a的函数关系式，并求出使得CFM的面积最大时M的坐标；(3)在对称轴上是否存在一个点P，使得P与A、B构成的PAB为直角三角形，若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。OABCFxyD3、如图，已知抛物线()与直线交于A、B两点，与轴交于点C，OAOB，BC轴(1)求该抛物线的解析式；(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方)，DE过D、E两点分别作轴的平行线，交抛物线于点F、G设D点的横坐标为，四边形DEGF的面积为，求与之

3、间的关系式，写出自变量的取值范围，并求出为何值时，有最大值，最大值为多少？xCByAOFGED(3)若点P为该抛物线对称轴上一动点，在第(2)问条件下，当取得最大值时，是否存在点P，使得以、D、E为顶点的三角形是等腰三角形？若有，请求出P点坐标；若没有，请说明理由练习：1、如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OBOC 求此抛物线的解析式；若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积. 若平行于x轴的直线与

4、该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由26题图2、如图，抛物线y=ax210ax+8与y轴交于点A，与x轴交于点C、D,点B在抛物线上，且ABx轴， AB=AC，点P是抛物线的对称轴上一动点。（1）求抛物线的对称轴及a的值；（2）当PAC的周长最小时，求出点P的坐标；xyABCOD（3）在y轴上是否存在点M，使四边形MPBC为等腰梯形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。3、已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A()，B()(1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设（1

5、）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和的面积；（注：抛物线的顶点坐标为）；(3) 是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标27题图答案：1、解：(1)又 为为 设抛物线解析式 将代入求得 (2)抛物线的对称轴为直线 由 得直线解析式为对称轴与直线相交于点为可直接设BN的长为未知数.设为，当时，时， 所以的长为3或(3)存在. 由得，抛物线的对称轴为直线 顶点为 当时，设点坐标为根据勾股定理，得 即又点在抛物线上，即，解得或 即点坐标为或 当时，即关于对称轴对称此时的纵坐标为3，即，解得(舍去)，为当时，只能在点左

6、边的抛物线上，所以不考虑符合条件的点坐标为或2、(1)OAOC3 A(3,0) C(0,-3)OABCFxyD BC2 又四边形OCBA为梯形 BC / x轴 B(2,-3) 将A，B代入到 y=ax2+bx3中 y=x22x-3 4分 (2)对称轴： F(1, 1) C(0, 3) 设CF：y=kx-3 将F代入 k-3=1 k=4 CF: y=4x-3 5分 设M(a, a2-2a-3) 分别过M过F作垂线，如图所示交y轴于E，两垂线交于D，则四边形MDEC为直角梯形. 令-a2 + 2a + 4 = m 原式 7分 3 当a = 3时，S有最大值. 此时M(3, 0) 8分 (3)存在：

7、当PAB900 设P(1, n) 则AP2 = 22 + n2 = 4 + n2 AB2 = (3 - 2)2 + 32 = 10 BP2 = 12 + (3 + n)2 = n2 + 6n + 10 AP2 + AB2 = BP2 4 + n2 +10 = n2 + 6n + 10 6n = 4 n = 9分APB900时 AP2 = 22 + n2 = 4 + n2 BP2 = 12 + (3 + n)2 =n2 + 6n + 10AB2 = 104 + n2 + n2 + 6n + 10 =10 2n2 + 6n + 4 = 0 n1 = -1 n2 = -2P2(1, -1) P3(1

8、, -2) 11分ABP900 AB2 + BP2 = AP2P4(1, ) 12分使得ABP为Rt练习：1、解：设抛物线的解析式为 由已知得：C（0，3），A（1，0） 1分 解得 2分 抛物线的解析式为 3分 过点P作y轴的平行线与AG交于点Q 由，令x=2，则y=3 点G为（2，3） 设直线AG为 解得 即直线AG为 5分设P（x，），则F（x，x1），PF 6分当时，APG的面积最大此时P点的坐标为， 7分 （注：利用四边形的面积来表示APG的面积也可以，只要答案正确即可） 存在MNx轴，且M、N在抛物线上 M、N关于直线x=1对称 设点M为（，）且 当QMN=90，且MN=MQ时，M

9、NQ为等腰直角三角形 MQMN 即MQx轴26题图 即或 解得，（舍）或，（舍） 点M为（，）或（，） 点Q为（，0）或（，0） 当QNM=90，且MN=NQ时，MNQ为等腰直角三角形 同理可求点Q为（，0）或（，0） 当NQM=90，且MQ=NQ时，MNQ为等腰直角三角形 过Q作QEMN于点E，则QE=MN 方程有解 由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0） 综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0） 12分2、.解：（）xyABCODEMP 抛物线的对称轴为：1分 令x = 0, 则: y = 8 点A坐标为：(0,8) AB /

10、 x轴 点A与点B关于对称轴x = 5对称 点B坐标为：（10,8）2分 AB = 10又AB = AC在RtAOC中，点的坐标为（-b，0）3分将C(-b，0)代入得：36a + 60a +8 = 0 4分（）而AC = 10为定值当的取得最小值时，PC + PA最小由抛物线的对称性可知：此时点P即为BC直线x = 5 的交点. 5分令直线BC的解析式为：y = kx + b (k0). 由C(-6,0), B(0,8)得：解得： 直线BC的解析式为： 6分 当x = 5时， 此时点P的坐标为7分（）符合条件的点M存在. 8分由四边形的表示方法知：点M与点P在直线BC的同侧.显然：MC与PB不平行.MP / BC 令点的坐标为（0, m），则：直线MP的解析式为：点P的坐标为：在RtMOC与RtPBE中 由：MC = PB得： 此时点M的坐标为：10分3、解：（1）解方程，得，（1分）由，有，所以点，的坐标分别为，（2分）将，的坐标分别代入，得解这个方程组，得所以抛物线的解析式为（3分）DHBEAOPMC27题答图 （2