第二章 控制系统的状态空间表达式

1、第二章 控制系统的状态空间表达式一、主要内容1. 状态空间描述的几个重要概念2. 状态空间表达式的一般形式1) 非线性系统的状态空间描述2) 线性时变系统的状态空间描述3) 线性定常系统的状态空间描述4) 离散系统的状态空间描述3. 系统状态空间表达式的特点4. 状态空间表达式的建立1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述3) 由系统传递函数化为状态空间描述4) 由系统状态变量图列写状态空间描述5) 由系统方块图列写状态空间描述5. 状态向量的线性变换1) 系统状态空间表达式的非唯一性2) 系统特征值的不变性3) 将状态方程化为型规范型（对角线型和约

2、当型）二、教学基本要求1、正确理解状态变量和状态空间描述的概念、涵义和特点。2、熟练掌握建立状态空间表达式的不同方法，能够依据不同的已知条件建立系统相应的状态空间表达式。3、熟练掌握线性变换方面的知识。理解坐标变换的概念，了解系统特征方程和特征值不变性及传递函数不变性的特点，熟练掌握将系统状态空间描述化为规范型的方法。三、重点内容概要1. 状态空间描述的几个重要概念状态变量 是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。给定了这个变量组在初始时刻的值和时刻系统的输入函数，那么系统在时刻的行为就可以完全确定。这样一组变量就称为状态变量。状态矢量 以状态变量为元组成的向量，称为状态矢量。状

3、态空间 以状态变量为坐标轴构成的n维空间称为状态空间，记作。状态方程 状态变量和输入变量之间的关系用一组一阶微分方程来描述。输出方程 系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式。状态空间表达式 状态方程和输出方程综合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述（数学模型），称为系统的状态空间表达式。2. 状态空间表达式的一般形式(1) 非线性系统的状态空描述 （2.1）其中，为状态向量；为输入向量；为输出向量。向量函数和的全部或至少一组成元素为状态变量X和控制u的非线性函数。(2) 线性系统的状态空间描述 线性时变系统的状态空间描述 （2.2）其中，为系统矩阵；为控制矩阵；为输

4、出矩阵；为在直接传递矩阵。 线性定常系统的状态空间描述 （2.3）其中各个系数矩阵微常数矩阵。 离散时间系统的状态空间描述 （2.4）其中，表示离散的时刻。3. 系统状态空间表达式的特点(1) 状态空间描述考虑输入状态输出这一过程，是对系统动态行为的完全描述。(2) 对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的，即个数等于系统包含的独立储能元件的个数。(3) 选择不同的状态变量，系统有不同的状态空间描述。系统任意两个状态向量之间的关系是线性非奇异的关系。即若X是系统的一个状态向量，只要矩阵P是非奇异的，则也是系统一个状态向量。4. 状态空间表达式的建立(1) 由物理系统的机理直接建

5、立状态空间表达式 根据系统内部的运动规律，直接推导其输入/输出关系的建模方法称为机理分析法。 列写步骤A. 确定输入变量和输出变量。B. 将物理系统划分为若干子系统，根据物理定律列写各子系统的微分方程。C. 根据各子系统微分方程的阶次选择状态变量（通常选择独立储能元件的输出物理量为状态变量，如电感电流，电容电压等），将各子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，即可得到系统的状态方程。D. 按照输出量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程的形式，即可得到输出方程。(2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述设线性连续时不变单输入单输出系统的高阶微分方程为： （2.5）将其化为状态空间描述的关键问

6、题是选择系统适当的状态变量，确定相应的系数矩阵。分两种情况讨论：第一种情况：方程（2.5）中不包含输入函数的导数微分方程形式为： （2.6）、选择状态变量一个阶系统，具有个状态变量，因为当给定和的输入时，系统在时的运动状态就完全确定，所以选择为系统的一组状态变量令 （2.7）、将高阶微分方程（2.5）化为状态空间表达式 （2.8）当矩阵具有形如（2.8）式的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。第二种情况：方程（2.5）中包含输入函数的导数线性连续时不变系统输入输出的时域模型一般形式：、选择状态变量 （2.9）其中可由下式计算，即 （

7、2.10）、系统状态空间表达式系统状态方程： （2.11）系统输出方程： （2.12）(3) 由系统传递函数化为状态空间描述控制系统的传递函数为： （2.13）分两种情况讨论：第一种情况：控制系统传递函数的极点为两两相异把式（2.13）化为部分分式形式： （2.14）其中：为系统中两两相异的极点，为待定常数，通过下式计算求得： （2.15）可得到系统状态空间表达式为： （2.16） （2.17）第二种情况：控制系统传递函数的极点为重根设式（2.13）的极点仅有一个重根将其化为： （2.18）其中为待定常数，通过下式计算求得： （2.19）可得系统状态空间表达式为: (2.20) (2.21)(

8、4) 由系统状态变量图列写状态空间描述 状态变量图：由积分器、加法器和放大器构成的图形表示。 意义：状态变量图既描述了状态变量之间的相互关系，又说明了状态变量的物理的物理意义，它是系统相应方块图拉氏反变换的图形。 绘制状态变量图的方法设二阶系统的传递函数为：将上式分子分母同除以，令，得 （2.22）根据式（2.22）可画出系统方块图（图2.1）与系统状态变量图（图2.2）。图2.1 二阶线性系统方块图图2.2 二阶线性系统的状态变量图同理，设n阶线性系统的传递函数为： （2.23）将式（2.23）分子分母同除以，令，得 （2.24）根据式（2.24）可画出系统方块图（图2.3）与系统状态变量图

9、（图2.4）。图2.3 n阶线性系统方块图图2.4 n阶线性系统状态变量图 由状态变量图列写状态空间描述的步骤:A. 由已知条件画系统状态变量图。B. 选择每个积分器的输出作为一个状态变量。C. 依据状态变量图，列写出系统 考虑n阶线性系统（2.23），由状态变量图2.4，列写其状态方程与输出方程，有即 （2.25） （2.26）(5) 由系统方块图列写状态空间描述 由系统方块图导出状态空间描述的步骤A. 将系统方块图中的各个环节均化为典型环节：积分环节和一阶惯性环节。B. 把每个积分器的输出选为状态变量拉氏变换，并列写每个典型环节的传递函数。C. 拉氏反变换得一阶微分方程组。D. 写成矩阵向

10、量形式，得到状态空间表达式。 典型二阶系统状态空间描述图2.5 控制系统方块图1） 列写每个典型环节的传递函数2） 叉乘拉氏反变换得一阶微分方程组拉氏反变换为由图可知3） 用向量矩阵形式表示5. 状态向量的线性变换(1) 系统状态空间描述的非唯一性对于给定系统，状态变量的选择不唯一，若X是系统一个状态向量，则必存在一个非奇异矩阵P，对X作线性变换（坐标变换），则也是一个状态向量。已知：对原状态变量作线性变换，得到新的状态空间描述：即： 其中：(2) 系统特征值的不变性特征方程：系统，其特征方程就是系统矩阵A的特征方程，即其中，I为单位矩阵。系统特征值：特征方程的根称为系统特征值。系统特征值的不

11、变性原系统即经过线性变换后的系统，有所以，同一系统，经非奇异变换（坐标变换）后，其特征值不变。 特征向量：系统矩阵A对应于特征值的特征矢量，满足： （其中为列向量）(3) 将状态方程化为规范型 将状态方程化为对角线规范型A. 当矩阵A的特征值两两相异且A矩阵具有任意形式定理：对于系统，设其特征值两两相异，则存在线性变换，将系统化为如下对角线规范型：其中，变换矩阵，为特征值所对应的特征矢量。B. 当矩阵A的特征值两两相异且A矩阵为友阵定理：当系统矩阵A两两相异且A矩阵为友阵时，将其化为规范型的变换矩阵是一个范德蒙德矩阵，即已知：，则变换矩阵（范德蒙德矩阵）C. 当矩阵A的特征值有重根，且对应于重

12、特征值的线性无关的特征向量数目等于重特征值数，那么矩阵A可以化为对角线规范型。（但这种情况很少见。） 将状态方程化为约当规范型A. 当矩阵A的特征值有重根，且对应于重特征值的线性无关的特征向量数目小于重特征值数，那么矩阵A可以化为约当规范型。四、典型例题例2.1 以恒压u为驱动的电网络如图2.6所示。选择电感L上的支路电流和电容C上的支路电压作为状态变量时，求它的状态空间表达式。又输出是图2.6中所示电容C上的支路电压y。图2.6 电网结构图解 采用机理分析法求状态空间表达式。此题根据基尔霍夫定理，列方程得：因为不是系统的状态变量，所以需要将代入上式，消去，即解得将上式写成矩阵向量形式，为输出

13、方程为例2.2 试求图2.7所示的电网络中，以电感L1、L2上的支路电流x1、x2作为状态变量的状态空间表达式。这里u是恒流源的电流值，输出y是R3上的支路电压。图2.7 RL电网络解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程，即整理得状态空间表达式为:例2.3 图2.8所示的机械运动模型中，M1、M2为质量块（同时也为质量），K1、K2为弹簧，也为弹性系数，B1、B2是阻尼器，列写出在外力f作用下，以质量块M1和M2的位移y1和y2为输出的状态空间表达式。图2.8 机械运动模型图解 弹簧K1、K2，质量块M1、M2是储能元件，故弹簧的伸长度y1和y2，质量块M1、M2的速

14、度v1，v2可以选作状态变量。由结构图2.8可以直接看出，它们是相互独立的。选，根据牛顿定律，对于M1有：对于M2有：把及u=f代入上面两个式子，经整理可得：写成矩阵向量形式：指定，为输出，所以例2.4 图2.9是直流他励电动机的示意图。图中R、L分别为电枢回路的电阻和电感，J为机械旋转部分的转动惯量，B为旋转部分的粘性摩擦系数。列写该图在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式。图2.9 自流电动机示意图解 电感L、转动惯量J是贮能元件，相应的物理变量电流i及旋转速度w是相互独立的，可选择为状态变量，即，则由电枢回路的电路方程，有由动力学方程有由电磁感应关系，有式中，e为反电动势；为转矩常数和

15、反电动势常数。把上面三式整理，改写成：把，代入，有若指定角速度为输出，则例2.5 已知系统的微分方程（1）（2）（3）试列写出它们的状态空间表达式。解 （1）选择状态变量，则有状态空间表达式为: （2）已知。按照式（2.10）求出所以由式（2.11）和式（2.12）可以直接写出状态空间表达式为（3）对题中微分方程在零初始条件下取拉氏变换得所以： 根据式（2.25）和式（2.26），可直接写出系统状态空间表达式：例2.6 已知系统的传递函数，试建立系统的状态空间描述。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）其极点为：因此，其相应的状态空间表示式为： ，（2）其极点为：因此，其相应的状态空间表示式

16、为：（3）因此，其对应的状态空间描述为：（4）所以，写成状态空间表达形式为：（5）所以，写成状态空间表达形式为：例2.7 某随动系统的方框图如图2.10所示，列写其状态空间表达式。解 由系统方块图，可得：对上式进行拉式反变换得状态空间表达式为：例2.8 试将下列状态方程化为对角线规范型。（1）（2）解：（1）1）求特征值解得：2）求特征向量当时，有解得：当时,有解得：3）构造变换矩阵,并求；，4）求所以得到对角线规范型：（2）1)计算特征值解得： 2）构造变换矩阵P,3) 求4）变换后的状态方程为对角规范型：例2.9 试将下列状态方程化为约当规范型。（1）（2）解（1）1） 求矩阵A的特征值解得：2） 求变换矩阵P当时，根据求得再求对应于时的另一个广义特征向量，根据，求得当时，根据，求得所以3） 求变换后的状态方程为对角规范型：，（2）1）求矩阵A的特征值解得：2）求变换矩阵P当时，根据求得同理，当时，根据，求得再求对应于时的另一个广义特征向量，根据，求得所以，3）求变换后的状态方程为对角规范型：，则得约当规范型为五、同步训练1、试求三阶微分方程