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1、2014年天津市大学生数学竞赛天津外国语大学选拔考试试题解答姓名 学号 专业 成绩本卷共十四大题，总分110分。1、 设是周期为的可导奇函数，且，求.（本题5分）解：时，因是奇函数，故，于是，时，2、 已知求.（本题5分）解：,3、 已知且求（本题5分）解：，又4、 设求（本题5分）解：五、设求（本题10分）解：6、 求极限.（本题10分）解： 7、 已知曲线经过点且在该点处有水平切线，问实数在什么范围内取值时，曲线没有拐点。（本题10分）解：，,故而，实数时，曲线没有拐点。8、 求不定积分（本题10分）解：九、设是由方程确定的隐函数，（1）证明是单调增加的；（2）求（本题10分）解：（1）对

2、两边同时求导得：故而，是单调增加的。（2） 因是单调增加的，故而，于是，10、 设函数由方程确定，求的极值.（本题10分）解：对方程两边关于求导得：，,则驻点为,将代入上式得：,综上，为极小值点，极小值为。11、 求正数的取值范围，使得曲线与直线必相交。（本题10分）解：当时，若曲线与直线相切，则于是，当时，曲线与直线只有一个交点，时，有两个交点。当时，曲线与直线只有一个交点。综上，时，曲线与直线必相交。十二、已知某厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使每件产品的平均成本最小，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？（本题10分）解：（1）平均成本

3、故而，要使每件产品的平均成本最小，应生产1000件产品.（2），于是，若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产6000件产品.十三、设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（I）（II）（本题10分）证：（1）由定积分的保序性，以及，则有（2） 设,因单调增加，及，则，所以.于是，在单调减少，即十四、设是区间上具有二阶导数的非负函数，且若证明（本题10分）证：设,则单调增加，,故而，单调增加，,于是得，单调增加，,即十五、设函数具有二阶导数, 且直线是曲线上任意一点处的切线, 其中 记直线与曲线以及直线所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 试问 为何值时 取得最小值.（本题10分）解 切线的方程为 即 于是 可见, 在连续,

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