空间向量解决空间角问题――解答题

1、18（本小题满分14分）如图，棱锥的底面是矩形，（第18题图）面，为的中点.（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值；（3）设为的中点，在棱上是否存在点，使面？如果存在，请指出点的位置；如果不存在，请说明理18（本小题满分14分）证明：(1) 在中，为正方形，因此. 2分面，面， 3分 又 面 4分解： (2) 建立如图所示的直角坐标系，则、5分在中，6分设面的法向量，则，可以得到面的一个法向量 7分又平面，为面的一个法向量， 8分则，二面角的余弦值为. 10分 (3) 为的中点，的坐标为.设棱上存在点使平面， 则, 11分由得面的一个法向量,， 13分在棱上存在点，使平面，且为棱的中点.14分

2、17（本题满分14分）如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求多面体的体积；（3）求二面角的平面角的正切值17、（本小题满分14分）（1）证明：直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ACBC， 又 ACC1 C， AC平面BCC1； ACBC1 （2）-=20（3）解法一：取中点，过作于，连接。是中点， 平面，又 ,又平面 是二面角的平面角AC3，BC4，AA14， 二面角的正切值为 解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， AC3，BC4，AA14，平面的法向量， 设平面的法向量，

3、则，的夹角的补角的大小就是二面角的大小则由解得 ，则 二面角的正切值为 18（本小题满分l4分） (1)证明： 平面，平面,.，平面,平面,平面.平面， 3分, ,平面,平面,平面.平面,. 6分（2）解法1：由（1）知，又， 则是的中点, 在Rt中,得，在Rt中,得, .设点到平面的距离为，由， 8分得.解得， 10分设直线与平面所成的角为，则， 12分 . 直线与平面所成的角的余弦值为. 14分解法2： 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，. . 8分设平面的一个法向量为，由可得：令，得. 10分设直线与平面所成的角为，则. 12分.直线与平面所成的角的余弦值为. 14分1

4、7（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直已知，（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的大小；（）当的长为何值时，二面角的大小为？17（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形和圆所在的平面互相垂直已知,（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的大小；()当的长为何值时，二面角的大小为？【解】（）证明：平面平面,平面平面=，平面平面，又为圆的直径，平面平面，平面平面 4分 （）根据（）的证明，有平面，为在平面上的射影，因此，为直线与平面所成的角 5分，四边形为等腰梯形，过点作，交于,，则在中，根据射影定理，得 7分，直线与平面所成

5、角的大小为 8分 ()（解法一）过点作，交的延长线于点，连根据（）的证明，平面，则，为二面角的平面角， 9分在中，, 10分又四边形为矩形， 因此，当的长为时，二面角的大小为 12分（解法二）设中点为，以为坐标原点，、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）设，则点的坐标为在中，,点的坐标为，点的坐标为,，设平面的法向量为，则,即 令，解得 10分取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为，即， 解得（负值舍去）因此，当的长为18（本题满分14分）PABDCO第18题图如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且点在圆所在平面上的正投影为点，（1）求证：；（2）求二面角

6、的余弦值18（本题满分14分）PABDCO解析：（）法1：连接，由知，点为的中点，又为圆的直径，由知，为等边三角形，从而-3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面，-5分由得，平面，又平面， -6分（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分）法2：为圆的直径，在中设，由，得，则，即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， -5分由得，平面，又平面， -6分法3：为圆的直径，在中由得，设，由得，由余弦定理得，即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， -5分由得，平面，又平面， -6分（）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接 -7分PABDCOE由（1）知平面

7、，又平面，又，平面，又平面，-9分为二面角的平面角 -10分由（）可知，（注：在第（）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分），则，在中，即二面角的余弦值为 -14分法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系 -8分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分）设，由，得，PABDCOyzx由平面，知平面的一个法向量为 -10分设平面的一个法向量为，则，即，令，则，-12分设二面角的平面角的大小为，则，-13分二面角的余弦值为-14分18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P

8、A平面ABCD，点 E在线段PC上，PC平面BDE。（1） 证明：BD平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；18.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形中，分别是，上的点，为的中点. 将沿折起，得到如图6所示的四棱椎，图6图5其中.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18. 解：（1）连结，因为在等腰直角三角形中，所以在中，同理得因为， 所以， 所以 所以， 所以平面（2）方法一：过点作的延长线于，连接 因为平面 根据三垂线定理，有 所以为二面角的平面角 在中， 在中，所以所以二面角的平面角的余弦值为方法二： 取中点，则以为坐标原点，、分别为

9、、轴建立空间直角坐标系 则 是平面的一个法向量设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以是平面的一个法向量设二面角的平面角为，且所以所以二面角的平面角的余弦值为1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解】面面面面，面面面又面取中点为，连结，以为原点，如图建系易知，则，设为面的法向量，令，则与面夹角有假设存在点使得面设，由（2）知，有面，为的法向量即综上，存在点，即当时，点即为所求.2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【解】()连结，取的中点，连结， 因为，在上底面内，不在上