二次函数与三角形

1、第11讲 二次函数与三角形、四边形及其面积问题一、知识梳理：抛物线与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查学生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构

2、造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。解抛物线与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，抛物线解析式三者关系，充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。二、精典题型剖析考点1、二次函数与等腰三角形例1、（2012扬州）已知抛物线yax2bxc经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由变式训练（2

3、012杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）A2B3C4D5考点2、二次函数与直角三角形例2（2.2012菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到ABO（1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出四边形P

4、BAB的两条性质考点3、二次函数与平行四边形例3、（2012成都） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且0)经过A，C两点，与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于

5、，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程解答：解：（1）经过点（3，0），0=+m，解得m=，直线解析式为，C（0，）抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（3，0），另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x5），抛物线经过C（0，），=a3（5），解得a=，抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG，又，CAOEFG，EG=CO=，即yE=，=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍

6、去），E（2，），SACEF=；（ii）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，同理可求得E（+1，），SACEF=（3）要使ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）B（5，0），C（0，），直线BC解析式为y=x+，xP=1，yP=3，即P（1，3）令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3k，y=kx+3k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3y1=kx1+3k，y2=kx2+

7、3k，y1y2=k（x1x2）根据两点间距离公式得到：M1M2=M1M2=4（1+k2）又M1P=；同理M2P=M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）M1PM2P=M1M2，=1为定值考点4、二次函数与矩形、菱形例4、（2012烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解

8、析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值解：（1）A（1，4）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4抛物线过点C（3，0），0=a（3-1）2+4，解得，a=-1，抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3 （2）A（1，4），C（3，0），可求直线AC的解析式为y=-2x+6点P（1，4-t）（3分）将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t2点G

9、的横坐标为1+t2，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t4GE=（4-t4）-（4-t）=t-t4又点A到GE的距离为t2，C到GE的距离为2-t2即SACG=SAEG+SCEG=12EGt2+12EG（2-t2）=122（t-t4）=-14（t-2）2+1 当t=2时，SACG的最大值为1（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，根据APEABC，知APAB=AEAC即t4=2根号5-t2根号5，解得，t=20-8根号5 第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=12t，EM=2-12t，MQ=4-

10、2t则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-12t)2+（4-2t）2=t2解得，t1=2013，t2=4（不合题意，舍去）综上所述，t=20-8根号5或t=2013考点5、二次函数与相似三角形例5（2012铜仁）如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请

11、说明理由（1）（2）（1，2）（3）不存在，理由见解析【解析】【解析】（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）抛物线经过A、B、C三点，把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：抛物线的解析式为（2）由题意可得：ABO为等腰三角形,如图所示，若ABOAP1D，则DP1=AD=4 ,P1若ABOADP2 ，过点P2作P2 Mx轴于M，AD=4, ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合P2（1，2）（3）如图设点E ，则 当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE= 点E在

12、x轴下方 代入得： ,即 =(-4)2-47=-120此方程无解当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 点E在x轴下方 代入得：即 ，=(-4)2-45=-40此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E考点6、二次函数与面积问题CEDGAxyOBF例6、（1）（四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的

13、周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积解：（1）由题意，得，解得，b =-1，所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（-1，）；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=，而，CDH的周长最小值为CD+DR+CH=，设直线BD的解析式为y=k1x+b，则，解得，所以直线BD的解析式为，由于BC=2，CE=，RtCEGCOB，得CECO=CGCB，所以CG=2.5，GO=1

14、.5，G（0，1.5），同理可求得直线EF的解析式为，联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H；（3）设K（t，），xFtxE，过K作x轴的垂线交EF于N，则KN=yK-yN=-，所以SEFK=SKFN+SKNE=KN（t+3）+KN（1-t）=2KN=-t2-3t +5=-（t+）2+，即当t =-时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（-，）。（2）（2009济南）已知：如图3，抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）若点是线段上的一个动点过点D作交轴于点设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试探讨是否存在最大值，说明理由解：（1）

15、由题意得 2分解得 此抛物线的解析式为yx2+x2 3分 （2）连结AC、BC因为BC的长度一定，所以PBC周长最小，就是使PC+PB最小B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x的交点即为所求的点设直线的表达式为y=kx+b则 4分解得此直线的表达式为yx2 5分把x1代入得yP点的坐标为（1，）6分解法（二）连结AC、BC因为BC的长度一定，所以PBC周长最小，就是使PC+PB最小B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x的交点即为所求的点设对称轴x与x轴的交点为F,由题意知OC=2,OA=3,OF=1,PFODAPF=ACO,APF=AOCAPF ACO 5分 即PF=P点的坐标为（1，）6分（3）S存在最大值7分EDPxAyCOB第24题图 解法（一）：DEPC 即DEAC OED OAC 即OE3m，AE3OEm方法一：连结OP SS四边形PDOESOEDSPOE+SPODSOED（3m）+(2m)1（3m）(2