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文档简介
1、基本不等式（均值定理），（）（教案）一、学习目标知识目标：理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值能力目标：培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力情感目标：通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质二、重点：理解均值不等式难点：均值不等式的应用三、学习过程：（引出新课）对任意两个正实数,数叫做的算术平均数，数叫做的几何平均数。这两均数之间的不等关系可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们把这
2、一基本不等式称之为均值定理，因此又叫均值不等式（板书课题）符号表示为：若 ,当且仅当时，等号成立。问题：能证明吗？（作差法）问题: 能不能用几何方法证明上面的基本不等式呢?下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释：令正实数、为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为 和的两条线段,然后比较这两条线段的长。（）作线段,使; （）以为直径作半圆 （）过点作于,交半圆于（）连接， ，则 ,当时，即当时，即均值不等式与不等式的关系如何？区别：的范围不同。联系：均值不等式是的特例。小组讨论：判断以下几个均值不等式的应用是否正确？若不正确，说明理由。（） ,当且仅当时等号成立， 的最小值是.（）.解：（）
3、求函数（）的最小值.解: ,函数的最小值是.学生小组讨论得出求最值的条件:一正二定三相等一、配凑. 凑系数例. 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即时取等号。所以当时，的最大值为。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。. 凑项例. 已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。.
4、 分离例. 求的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当时取“”号）。当，即时（当且仅当时取“”号）。的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，()恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例. 已知，求的最小值。解法：不妨将乘以，而用代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法：将分子中的用代换。评注：本题巧妙运用“”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。练一练. 求的最小值，以及此时的值.配凑（ 凑系数）. 若，求的最大值.凑项. 求函数的最小值.已知，求函数的最大值.解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使
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