解析几何竞赛题求解的几种常见策略

1、.解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不

2、言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。一、用函数(变量)的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线上的两个动点和,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,

3、求面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB中点的纵坐标作为主变量，这样只要把的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。【解析】设线段AB的中点M坐标为（，则则直线AB的斜率：线段AB的中垂线方程：，易知线段AB的中垂线与轴的交点为定点直线AB的方程：，联立抛物线方程消去可得：（1），由题意，是方程（1）的两个实根，且，所以弦长点C(5，0)到直线AB的距离：则当且仅当，即，点或时等号成立，所以面积的最大值为。【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S表示为

4、中点坐标的函数，同时注意的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设，转化为一个的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的,所以其余各量均可用，所以我们这里可用一个二元函数来表示，本题就转化为解二元方程.【解析】由消去化简整理得:设，则, 由消去化简整理得:设，则, 因为，所以，此时由得所以或由上式解得或当时，由和

5、得因是整数，所以的值为，当，由和得因是整数，所以，于是满足条件的直线共有9条【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理.二、用平面几何的知识来解决问题解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。在解决某些解析几何问题的时候，如果其平面几何背景非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问

6、题。【例3】(2012全国高中数学联赛试题)抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点M在上的投影为N，则的最大值是_【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义，|MN=|AF|+|BF|，结合，可用余弦定理得出等量关系。【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得 当且仅当时等号成立.故的最大值为1.【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。【例4】（2005全国高中数学联赛试题）过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，F在线段BC上，且1+2=

7、1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。【分析】通过初略计算可知D为AB的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考虑用三角形的面积之比来解决问题。【解析】AB的方程为故D是AB的中点. 令则因为CD为的中线，所以是的重心.设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为【评析】从函数的观点进行分析，易发现点C的横坐标为主变量，P点的横坐标和纵坐标均表示成的函数，在消去参数就得到点P的轨迹方程，思路虽然简单，但由于本题所含字母较多，进行代数运算时运算量大且容易出错。如果我们能够分析其平面几何背景，运用平面几何的知识，就能比较快速准确的解决问题当解析几何题目。三、用

8、极坐标知识来解决解析几何问题解析几何中的坐标法是指建立直角坐标系，用这个点在两坐标轴上的射影来确定。而极坐标是用角度和距离（很多时候就是长度）这两个量来确定一个点的位置，其几何意义很明显，如果在题目中涉及到的量能用角度和距离非常方便的表示出来，那么建立一个极坐标系进行运算，会比我们在直角坐标系下运算快速有效的多。ABPO【例5】（2008江苏省数竞赛试题）A、B是椭圆上的两个动点，满足。（1）求证：为定值；（2）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上。【分析】由可知,所以,而能用距离（长度）直接给表示出来，这里的问题都可以用角度和距离来表示，可以考虑建立极坐标系来解决。【解析】（1）如图

9、以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系设，则点，则点，点A、B在椭圆上，把点坐标带入椭圆方程可得： 同理可得： ，两式相加可得：为定值。（2）由知，所以为定值，所以P在以O为圆心，半径的定圆上。【评析】本题也可利用，设他们的斜率分别为，以为主变量进行运算，但用来表示比较麻烦。如能观察到用角度和距离两个量非常简洁的表示，选用极坐标系，则解题可事半功倍。【例6】(2012全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且（）求证：为定值；（2）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹【分析】根据图中的菱形和等腰三角形的性质可知O、A、C三点共线，结合菱形的对角线垂直可知边长关系，第（1）小题

10、用平面几何方法可快速求解，由点O、A、C三点共线知三点的角度是一样的，只有长度不一样，加上（1）的结论可知，|AO|与|OC|的长度之积为定值20，第（1）小题可以用极坐标()求解。【解析】（1）因为所以三点共线，如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有(定值)（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，则由（1）的结论可得：（*）而点A所在的半圆的极坐标方程为：所以，带入（*）可得：在转化为直角坐标：故点C的轨迹为线段。高中数学竞赛中的解析几何题的解题策略多种多样，还有很多方法和技巧，比如说用直线的参数方程来求解某些有关定点到动点距离的问题会比较方便，用曲线的参数方程在化两元为一

11、元的问题上有很多的优势等，我们只有掌握一些常用的技巧和方法，在做题的时候根据题设和结论的背景和特征，选择合适的方法，才能快速准确的解决解析几何问题。【同步练习】1、已知椭圆方程：,过椭圆左焦点F的一条动弦AB，其斜率，并且 ，求的取值范围。【解析】由知，所以椭圆方程可化为：设直线AB：，联立椭圆方程消去可得：设，则由得，结合：消去得：再解关于的不等式组可得：或2、如图，已知A、B分别为椭圆的左右顶点，Q为椭圆的右准线与轴的交点，过Q的直线与椭圆交于点C、D（C在Q，D之间），直线AD与BC相交于点P，求点P的轨迹方程。【解析】记椭圆的右焦点为F，连接CF、DF、PF，其中DF交椭圆与点G，PF交DQ与EABCDOQFPEG根据椭圆的第二定义：（1）FQ为DFC中的外角平分线，则（2）而，所以A、F、B、Q为调和点列。而D、E、C、Q四点共线，所以D、E、C、Q也是调和点列。则，由(1)式得：所以PF为DFC中的角平分线，,结合(2)式得：轴而P点在椭圆外，所以点P的轨迹方程为：或