概率论期末考试试题

1、1.全概率公式 贝叶斯公式1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？解：设Ai、A2、A3分别表示“谨慎的” “一般的”和“冒失的”保险户，B表示“发生事故”，由贝叶斯公式知2.老师在出考题时, 平时练习过的题目占60%. 学生答卷时, 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%, 求:(1) 考生在考试中答对第一道题的概

2、率;(2) 若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率.3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%。1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。解：1、 解：设事件表示拉到一级菜，表示从甲地拉到，表示从乙地拉到， 表示从丙地拉到 则，； ，, 则由全概率公式得=（7分）(2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为（10分）2.一维随机变量5.设随机变量X在区间0,1上服从均匀分布，求随机变量的密度函数.6. 证明: 设, 则时,Y=7.设随机7.变量X的密度函数

3、求（1）c的值；（2）；（3）EX (4)的分布函数.解： (1)由密度函数的性质得： 故c= -（4分） (2) - （7分）(3)EX=-（10分）8.设连续型随机变量X的分布函数为，求:(1)系数A; (2)X的分布密度f(x); (3)解： (1)A=1;(2) ;(3)0.53.二维随机变量10.设（X，Y）的分布为 YX-1 0 1-10 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8证明X与Y不相关，也不独立。证明：cov（X，Y）=EXY-EXEY -（1分）而EXY=0EX=0，EY=0-（3分）故X与Y不相关。-（5分）下证独立性-（8分）故X与Y也

4、不独立。-（10分）11.(X,Y)服从区域D上的均匀分布,，证明X与Y不独立也不相关.12.设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D=(x,y)|x2+y21,求：（1）X与Y的边缘密度函数；（2）判断X与Y是否独立。解：(1) fX(x)= ，fY(y)=(2) X与Y不独立。4.中心极限定理13.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，各机床开关独立，开动时每部要耗电15个单位，问至少要供应该车间多少单位电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.(F(1.64)=0.95,6.48).解：用表示任一时刻车间有同型号机床，则，则,（3分）假定至少需要单位电

5、能，则有：由中心极限定理可得：（8分）从而有：， 所以 ，故至少需准备2265单位电能（10分）14.某学院校园网中家属区每晚约有400台电脑开机, 而每台电脑约有的时间登入互联网, 并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关, 计算其中至少300台同时在互联网上的概率. (2.5)=0.99379)15.某计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10个终端同时使用打印机的概率。(F(1.68)=0.95352, 2.3874)解：每个终端使用打印机的概率为p=1/20，设同时有X个终端使用，则XB(120,1/20)，EX=np=6

6、，DX=npq=5.7，由于n=120很大，由中心极限定理，近似地XN(6,5.7)P(X10)=1-F(10)=1-()=1-(1.68)=1-0.95352=0.0464816.某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为100小时，将3 个这样的元件串联在一个线路中，求：在150小时后线路仍正常工作的概率。解：由题可知-（2分）则某电子元件的寿命超过150小时的概率为-（8分）故三个串联150小时仍正常的概率为 - （10分） 5.极大似然估计17.设总体X的密度函数为 (),若为来自总体的一个样本, 求未知参数的最大似然估计值.18.设总体的分布密度为，若为来自总体的一个样本,求未知参数的最大似然估计。解：似然函数L