几种分式型递推数列的通项求法

1、.几种分式型递推数列的通项求法李云皓(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北 宜昌 443000)1.1 引言数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。2.1 基本概念设数列an的首项为a1，且an+1=1an+12an+2 n=1,2, 其中i、ii=1,2,为常数，同时20,1212，我们称这个递推公式为分式递推式，而数列an称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成a

2、n+1an+an+1+an+=0 n=1,2, 2.2 递推式的特征方程与特征根我们先来看一个引例：首项为a1，由递推式an+1an+an+1+an=0 (n=1,2,)给定的数列an的通项公式我们是会求的：an+1an+an+1+an=01+an+an+1=0即1an+1=-an+1为常系数等比差数列（由递推式an+1=an+给定的数列，其中、为常数），该数列的通项是熟知的，为an=n-1(a1-1-)+1-于是考虑能不能变型后让中的没有，即让中的1没有。我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。下面给出特征方程推导过程：数列的递推式为an+1=1an+12an+2两边同时减去x得an+1

3、-x=1an+12an+2-x通分后得an+1-x=(1-x2)an+1-x22an+2an+1-x=1-x2)(an-x+1-x2+x1-x22(an-x)+2+x2令1-x2+x1-x2=0即1x+1-x2x+2=0x=1x+12x+2 方程保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，x为特征根。3.1 例题（第一部分）下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。例1在数列an中，a1=4，且an+1=3an+2an+4，求数列an的通项公式。解：特征方程x=3x+2x+4有两个不等根：x1=1，x2=-2an+1-1=3an+2an+4-1=2an-2an+4 an+1+2=3an+2

4、an+4+2=5an+10an+4两式相除得an+1-1an+1+2=2(an-1)5(an+2)由此可见，数列an-1an+2是以12为首项，25为公比的等比数列。an-1an+2=25n-1a1-1a1+2=25n-12an=2n-1+5n-15n-1-2n-2 n=1,2,故当方程有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。例2在数列an中，a1=3，且an+1=2an-19an+8，求数列an的通项公式。解：特征方程x=2x-19x+8有两个重根：x1=x2=-13an+1+13=2an-19an+8+13=5(3an+1)3(9an+8)两边同乘3得3an+1+1=5(3an+1)9an

5、+8=5(3an+1)3(3an+1)+5两边取倒数13an+1+1=35+13an+113an+1=35n-1+13a1+1=6n-510an=5-2n6n-5 n=1,2,故当方程有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。例3在数列an中，a1=3，且an+1=22-an，求数列an的通项公式。解：特征方程x=22-x有两个虚数根：x1=1+i，x2=1-ian+1-1+i=22-an-1+i=1+ian-2i2-an=(1+i)an-(1+i)2-anan+1-1-i=22-an-(1-i)=1-ian+2i2-an=(1-i)an-(1-i)2-an两式相除得an+1-1+ian+1-

6、1-i=1+i1-ian-1+ian-1-ian-1+ian-1-i=1+i1-in-1a1-1+ia1-1-i=in-12-i2+ian=1+3i-in-1+3in2+i-2in-1+in n=1,2,由此，当方程有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。3.2 例题（第二部分）下面我们来看另一类型的分式递推式。例4在数列an中，a1=a1，且an+1=an22an+a，求数列an的通项公式。解：两边取倒数有：1an+1=2an+aan2=2an+aan2=a1an2+21a1an1an+1+1a=a1an2+21a1an+1a21an+1+1a=a1an+1a21an+1a=a1an-1

7、+1a2=a2n-1-11a1+1a2n-11an=a2n-1-11a1+1a2n-1-1a n=1,2,还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简例5在数列an中，a1=a1，且an+1=an2+b2an+a，求数列an的通项公式。解：两边同乘2an+a，整理得：2an+1an+aan+1-an2-b=0令bn=an-xan=bn+x2(bn+1+x)(bn+x)+a(bn+1+x)-(bn+x)2-b=02(bn+1+x)(bn+x)+a(bn+1+x)-(bn+x)2-b=02bn+1bn+2x+abn+1-bn2+2x2+ax-x2-b=0令2x2+ax-x2-b=0即x=x2+b2x+a，解出xbn+1=bn22bn+2x+a1bn+1=2bn+(2x+a)1bn2=(2x+a)1bn2+212x+a1bn1bn+1+12x+a=(2x+a)1bn2+212x+a1bn+1(2x+a)21bn+1+12x+a=(2x+a)1bn+12x+a2下面的递推请读者自己完成4.1 练习练习1a1=0，an+1an-3an+1+an+1=0练习2a1=1，2an+1an-7an+1+2an=3练习3a1=-23，an+1an+2an+1+1=0练习4a1=1，an+1an+3an+1-2