高中立体几何证明方法及例题

1、 1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，

2、尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。（一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 3. 平行与垂直关系的转化： 4. 应用以上“转化”的基

3、本思路“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角：090 （2）直线与平面所成的角：090 （3）二面角：二面角的平面角，0180 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离

4、。【典型例题】（一）与角有关的问题 例1. （1）如图，E、F分别为三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）A. 60B. 45C. 30D. 120解：取AC中点G，连结EG、FG，则EGF为AB与PC所成的角在EGF中，由余弦定理，AB与PC所成的角为18012060选A（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）解：选A点P到平面QEF的距离为定值；直线PQ与平面PEF所成的角为定值；二面角PEFQ的大小为定值；三棱锥PQEF的体积为定值其中正确

5、命题的序号是_。解：对，错值，对综上，正确。 例2. 图是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角MNQP的大小。解：（1）如图，作出MN、PQPQNC，又MNC为正三角形MNC60PQ与MN成角为60 即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结MA交PQ于O点，则MOPQ又NP面PAQM，NPMO，则MO面PNQ过O作OENQ，连结ME，则MENQMEO为二面角MNQP的平面角在RtNMQ中，MENQMN

6、MQ设正方体的棱长为aMEO60即二面角MNQP的大小为60。 例3. 如图，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。解：（1）作PO平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PEADPB，ADOB（根据_）PAPD，OAOD于是OB平分AD，点E为AD中点PEADPEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角PEB120，PEO60即为P点到面ABCD的距离。（2）由已知ABCD为菱形，及PAD为

7、边长为2的正三角形PAAB2，又易证PBBC故取PB中点G，PC中点F则AGPB，GFBC又BCPB，GFPBAGF为面APB与面CPB所成的平面角GFBCAD，AGFGAE连结GE，易证AE平面POB（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA（二）与距离有关的问题 例4. （1）已知在ABC中，AB9，AC15，BAC120，它所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（ ）A. 13B. 11C. 9D. 7 解：设点P在ABC所在平面上的射影为OPAPBPC，O为ABC的外心ABC中，AB9，AC15，BAC120长度为_。解：（

8、采用展开图的方法）点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140与西经130，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（ ）解：（O1为小圆圆心）AOB为正三角形（O为球心）选D 例5. 如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。（1）求证：AF平面PEC；距离。解：G为PC中点，连结FG、EG又F为PD中点四边形AEGF为平行四边形AF平面PEC（2）CDAD，又PA面ABCDAD为PD

9、在面ABCD上射影CDPDPDA为二面角PCDB的平面角，且PDA45则PAD为等腰直角三角形AFPD，又CD平面PADCDAFAF面PCD作FHPC于H，则AFFH又EGAF，EGFHFH面PEC，FH为F到面PEC的距离在RtPEG中，FHPGPFFG方法2：（体积法）AF面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d易证AF面PCD，EG面PCDEGPC （三）对命题条件的探索 例6. （1）如图已知矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面ABCD，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（ ）解：PA面ABCD，PEDE由三垂线定理的逆定理知PE的射影AEBE所

10、以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则AD2AB6选A（2）如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心，从K、H、G、B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）A. KB. HC. GD. B分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。而平面PEF中，EF为定直线，连BC则F为BC中点考虑到若P为K点，则还有AA、BB、CC都平行于FK即它们也都平行于平面PEF，不合题意。同理P也不能为H点，若P为B点时，EF与BA共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面PEF），可见只能取G点。

11、故选C 例7. 置；若不存在，说明理由。置；解：（1）（用反证法）不存在点P满足题目条件（2）过B作BHAP于H，连CH即BHC是二面角CAPB的平面角BAH30下面求Q点的位置。（四）对命题结论的探索 例8. 并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是（ ）分析：从条件APBD1出发，可知AP必在过A点且与BD1垂直的平面B1AC上点P必在B1C上选A（2）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线CA上D. ABC内部解：连结AC1ACAB，又ACBC1AC面ABC1则C在面ABC上的射影必在交线

12、AB上选A 例9. 在四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC1。（1）求证：平面CBD平面ABD；（2）是否存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为30？如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角，使得存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为。解：（1）ABBC，ABBD面ABD面CBD（2）设CDx，在面CBD内作CEBD于E由（1）知平面ABD面BCD，且BD为交线CE平面ABD作EFAD于F，连结CF，则CFADCFE为“二面角”CADB的平面角，且CFE30又在RtBCD中，CEBDCBCD又CDBC，又BC为AC在面BCD上射影CDAC则在RtACD

13、中，CFADACCD故不存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为30故可以取4590之间的任意角。点评：本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。【模拟试题】一. 选择题。 1. PA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成60，则PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 2. 在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为（ ）A. B. C. D. 3. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（ ）A. B. C.

14、7D. 4. 已知A、B、C是球面上的三点，且AB6，BC8，AC10，球 心O到平面ABC的距离为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 5. ABC边上的高线为AD，且，将ABC沿AD折成大小为的二面角BADC，若，则三棱锥ABCD的侧面ABC是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 形状与a，b的值有关的三角形 6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（ ）A. 4B. 5C. 6D

15、. 7二. 填空题。 7. 如图，在三棱锥PABC中，且，则PA与底面ABC所成角的大小为_。 8. 如图，矩形ABCD中，沿AC把DAC折起，当四面体的体积最大时，直线AD与平面ABG所成角的正弦值是_。 9. 如图，正方体棱长为1，M、N分别为中点，则点C到截面MNDB的距离是_。三. 解答题。 10. 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M，求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的大小。（用反三角函数表示） 11. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF1，M

16、是线段EF的中点。（1）求证：AM平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。【试题答案】一. 选择题。 1. C2. A3. C4. C5. C 6. C提示：假设有n个正方体构成，其表面积由二部分组成：（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为2。（2）侧面则由4n个正方形构成，且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为4，公比为的等比数列。表面积n的最小值为6二. 填空题。 7. 提示：由题意，P点在面ABC上的射影H是ABC外心，H为BC中点） 8. 9. 提示：，即三. 解答题。 10. （1）连结AM，ABC为正三角形，

17、M为BC边中点A、G、M三点共线，AMBC即是二面角的平面角点在平面上的射影为M在中，由得即二面角的大小是60（2）过作交BC于P，则为异面直线与所成的角由是平行四边形得：于M在中，在中，在中，由余弦定理异面直线与所成的角为 11. 解：（1）记AC与BD交于点O，连结OEO、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形四边形AOEM是平行四边形AMOE，平面BDE，平面BEDAM平面BDE（2）ABAF，ABAD，AB平面ADF，作ASDF于S，连BS由三垂线定理，得BSDFBSA是二面角ADFB的平面角在RtASB中，二面角ADFB的大小为60（3）设，作PQAB于Q，则PQADPQAB，PQAF，PQ面ABFPQQF在RtPQF中，FPQ60，PF2PQPAQ为等腰直角三角形又PAF为直角三角形或（舍）即点P是AC的中点【励志故事】机会的意义一个人在海上遇难，漂流到了一个小岛上，他建了个小木房，还储存了一些食物在里面。每天他想尽办法寻找生机，一大早就要登上高处张望。可一个星期过去了，一只木船的影子也没看见。 这天，他正在岸边张望，突然狂风大作，雷电轰鸣。一回头，他看见自己的木棚方向升起浓烟，他急忙跑回去，原来雷电点燃