高中数学课本中的定理、公式、结论的证明

1、数学课本中的定理、公式、结论的证明数学必修一第一章 集合（无）第二章 函数（无）第三章 指数函数和对数函数1对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1）；（2）；（3）根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质证明：（性质1）设，由对数的定义可得 ，即证得证明：（性质2）设， 由对数的定义可得 ，即证得证明（性质3）设，由对数的定义可得 ，即证得第四章 函数应用（无）数学必修二第一章 立体几何初步直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明1、直线与平面平行的判定定理若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行2、平面与平面平行的判定定理

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行3、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直4、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直证明：设直线的方向向量为a,平面的法向量分别为u，r（建立立体几何问题与向量之间的联系），因为，所以a|r，即a=r()（把立体几何问题转化为空间向量问题）,又所以auau=0（把立体几何问题转化为空间向量问题），所以ur=0 ur（把空间向量的结果转化为几何结论），所以平面与平面互相垂直，5、直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，那

3、么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行6、平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行7、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行另法8、平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，9三垂线定理及逆定理另法证明：已知：如图，直线与平面相交与点A，在上的射影OA垂直于 求证： 证明： 过P作PO垂直于PO PO 又OA ，POOA=O平面POA （三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影第二章 解析几何

4、初步（无）数学必修三数学必修四第一章 三角函数 诱导公式公式： 如图：设的终边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式， 公式： 它刻画了角+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）关系，设角终边圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即+角的终边

5、与单位圆的交点必为P(-x，-y)（如图4-5-1）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x, sin(+)=-y,cos(+)=-x, 所以 :sin(+)=-sin，cos(+)=-cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相关诱导公式公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos kz tan（2k+）=tan kz 公式二：sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan 公式三：sin（）=sin公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）

6、=sin cos（）=cos tan（）=tan公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan 公式六： /2与的三角函数值之间的关系： sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot 第二章 平面向量1、共线向量定理（p82例3）内容：如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有证明：由题意，与共线， 化简为：2、平面向量基本定理(p83)内容：如果是同一平面内的

7、两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对实数，使得证明：如图过平面内一点O，作，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使得 即3、平行向量定理（p88）内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行，证明：设是非零向量，且若，则存在实数使，且由平面向量基本定理可知， 得：若（即向量不与坐标轴平行）则4、余弦定理证明(p93)内容：在中，分别为角的对边，则证明：如图在中，设则 同理可证： 所以5、点到直线距离公式证明（p99）向量法定义法证：如图,根据定义，点M到直线

8、 的距离是点M到直线 的垂线段的长，如图1，设点M到直线的垂线为 ，垂足为Q，由 可知 的斜率为 的方程：与联立方程组解得交点 第三章三角恒等变形 1、两角差的余弦公式证明cos（）=coscos+sinsin证明：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心， 作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角，且若，均为锐角时，设它们的终边分别交单位圆于点P1（cos，sin），P2（cos，sin），即有两单位向量，它们的所成角是，根据向量数量积的性质得： 又根据向量数量积的坐标运算得：=coscos+sinsin 由得 cos（）=coscos+sinsin 由诱导公式可证明当，均为任意

9、角时式仍成立，2、两角和的余弦公式证明=（略） 3、两角和（差）的正弦公式证明内容：证明：4、两角和（差）的正切公式证明内容：，证明：考题（2010四川理19） 证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.解：如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角、与-，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于P2；角的始边为OP2，终边交O于P3；角-的始边为OP1，终边交O于P4则P1（1，0），P2（cos，sin） ，P3（cos（+），sin（+），P4（cos（-），sin（-）由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得cos（+）-12+sin2（+）=cos（-）-cos2+si

10、n（-）-sin2展开并整理得：2-2cos（+）=2-2（coscos-sinsin）cos（+）=coscos-sinsin；由易得cos（-）=sin，sin（2-）=cossin（+）=cos-（+）=cos（-）+（-） =cos（-）cos（-）-sin（-）sin（-）=sincos+cossin；数学必修五第一章 数列1、 等差数列通项公式已知等差数列的首项为，公差为d，证明数列的通项公式为-+=证明：由等差数列的定义可知: 说明：用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要验证对同样成立2、 等差数列前项和内容：是等差数列，公差为，首项为，为其前n项和，则证明：由题意， 反过来可

11、写为：+得：2所以，把代入中，得3、等比数列通项公式已知等比数列的首项为，公比为q，证明数列的通项公式为-+=类比等差数列通项公式的证明，用“叠乘法”证明3、 等比数列前n项和内容：是等比数列，公比为，首项为，为其前项和，则=证明： 得：， 当时， 把代入中，得 当时，很明显所以，=考题（2013陕西文） 17.设Sn表示数列的前n项和. () 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 解：() 设公差为d,则.（北师大版数学必修五-课本证明方法） () ，.所以,是首项,公比的等比数列，2、（2013陕西理）17.设是公比为q的等比数列

12、. () 推导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 解：() 分两种情况讨论，.上面两式错位相减: ，综上，（北师大版数学必修五-课本证明方法） () 使用反证法，设是公比q1的等比数列, 假设数列是等比数列.则当=0成立，则不是等比数列，当成立，则，这与题目条件q1矛盾，综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q1时, 数列不是等比数列，abDABC第二章解三角形 1、正弦定理证明（p45）内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 已知：在中，分别为角的对边，求证：证明：方法1 利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是

13、CD，根据锐角三角函数的定义，有 ， 由此，得 ，同理可得 ， 故有 .ABCDba从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有， ，由此，得 ，同理可得 故有 .（3）在中， 由(1)(2)（3）可知，在ABC中， 成立.方法2. 外接圆证明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B,设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB=90，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.这就是说,对于任意的三角形,上

14、述关系式均成立,因此,我们得到等式. 方法3. 向量法证明正弦定理方法4. 等面积法（略）2、余弦定理证明（p49）内容：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，即证明：方法1向量法证明 方法2 三角形证明 （过程如下考题）考题（陕西2011年文、理18）叙述并证明余弦定理，解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有证法一 如图即同理可证 证法二 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则, 同理可证 第三

15、章不等式 （无）数学选修2-1第一章 常用逻辑用语（无）第二章 空间向量与立体几何1、空间向量基本定理： 2、线面垂直判定定理（p40例1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直3、面面平行判定定理（p40例2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行4、三垂线定理（p41例3）考题（2012陕西理18题） （1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【解析】（）证法一 如图，过直线上一点作平面的垂线，设直线，的方向向量分别是，则

16、，共面.根据平面向量基本定理，存在实数，使得，则，因为，所以，又因为，所以，故，从而 . 证法二 如图，记,为直线上异于点的任意一点，过作,垂足为,则.，直线，又，平面, 平面，又平面， . （）逆命题为：是平面内的一条直线，是平面外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则.逆命题为真命题第三章 圆锥曲线与方程1、椭圆标准方程（ ）的推导解、以和所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系；（建系）设是椭圆上任意一点，设，则，；（设点）由得；（列式、代换）移项平方后得， 整理得， 两边平方后整理得，（化简）由椭圆的定义知，即，令，其中，代入上式，得，两边除以，得：（）2、抛物线标准方程

17、y2=2px（p0）的推导解：如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的点M（x,y），则有化简方程得 3、双曲线标准方程(,)的推导解、取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c0），则F1（c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a2c）.由定义可知,双曲线上点的集合是P=M|MF1|MF2|=2a. 即:化简，整理得：移项两边平方得两边再平方后整理得由双曲线定义知考题（课本p76习题3-2第9题）（2012陕西理13.文14）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水