2019高考数学(文)培优二轮全国通用版：专题八数学思想、数学核心素养与数学文化第1讲

1、第 1 讲高考的热门话题 数学核心素养与数学文化数学素养解读最新普通高中数学课程标准(2018 年 1 月第 1 版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析 .六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性 .20172018 年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施， 高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、 综合性、应用性和创新性， 落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新

2、.因此，我们特别策划了本专题， 将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例 1】 (1)(2017 全国 卷 )我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯 ()A.1 盏B.3 盏C

3、.5 盏D.9 盏(2)公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现： 当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率” . 如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 _(参考数据： sin 15 0.258 8，sin 7.5 0.130 5，31.732).解析(1)设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为7，公比为，则依题意7SqSa1（127）381，公比 q 2.12381，解得 a1 3. ， 16sin 6033 2.5983.1，执行

4、循环 .(2)n6 S 221n12， S 2 12sin 30 33.1，满足条件 .输出 n 的值为 24.答案(1)B(2)24探究提高1.第(1)题从古代数学名著 算法统宗引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图 .事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在 数学 必修 3(A 版)“ 算法案例 ”中，源于教材 .3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值 .【训练 1】 (1)(2018 江西红色七校联考 )九章算术之后，人们学

5、会了用等差数列的知识来解决问题，张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾 (注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织 5 尺布，现一月 (按 30天计 )共织 390 尺布”，则从第2 天起每天比前一天多织 _尺布 .(2)(2018 烟台二模 )算法统宗是我国古代数学名著， 由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题 .执行该程序框图，若输出的m 的值为 0，则输入的 a 的值为()214593189A. 8B.16C.3

6、2D. 64解析(1) 每天织布数依次构成一个等差数列 an，其中a1 ，设该等差数列的5公差为 d.3029则一月织布 S30 305d150 435d390，21616解之得 d29，故从第 2天起每天比前一天多织29尺布 .(2)循环一次， m2(2a3)34a9，i 2；循环二次， m2(4a 9)38a 21，i 3；循环三次， m2(8a 21) 3 16a45，i 4；循环四次， m2(16a45)332a 93.此时 i 4 不满足 i 3，输出 m.93依题意 32a 930，a32.16答案(1)29(2)C热点二立体几何与概率中的数学文化【例 2】(1)(2017 全国

7、卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()11A.4B.8C.2D.4(2)(2018 湖南六校联考 )刍甍 (ch h n，)中国古代算数中的一种几何形体.九章算术中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也 .甍，屋盖也 .”翻译为“底面有长有宽为矩形， 顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它 (无底面，不考虑厚度 )需要的茅草面积至少为 ()A.86B.16C.85D

8、.14解析(1)设正方形的边长为2，则面积 S 正方形 4.又正方形内切圆的面积S12 .所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑2.S黑由几何概型的概率公式，概率PS正方形 8.(2)茅草面积即为几何体的侧面积， 由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形 .其中等腰梯形的上底长为2，下底长为 4，高为 22125；等腰三角形的底边长为2，高为2215，因此几何体的侧面积S（24） 5122222 58 5.即需要的茅草面积至少为8 5.答案(1)B(2)C探究提高1.本例第 (1) 题中全国 卷(第 2 题 )以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数

9、学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以九章算术的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练 2】 (1)(2018 郑州二模 )欧阳修在卖油翁中写到：“(翁 )乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4 厘米，中间有边长为1 厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油

10、(油滴大小忽略不计 )，则油恰好落入孔中的概率是()2111A.B.C.2D.4(2)我国南北朝时期数学家、天文学家 祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异” . “幂”是截面积， “势”是几何体的高， 意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等， 则两立方体体积相等 .已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()4A.42B.83C.8D.82解析 (1)易知铜钱的面积 S22 ，铜钱小孔的面积0 根据几何概型，4S 1.所求概率 P S01.S4(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V312正方体2 8， V

11、半圆柱 2( 1 )2，三视图对应几何体的体积 V8.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V V 8 .答案(1)D (2)C热点三数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程 .数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理 .【例 3】 (1)(2017 全国 卷 )甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 .老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、 丙的成绩，给乙看丙的成绩， 给丁看甲的成绩 .看后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩 .根据以

12、上信息，则 ()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩3x1x，若 ?x 2， 1，使得 f(x2(2)(2018 全国大联考 )已知函数 f(x) 3x1xsinx) f(xk)0 在 x 2，1上恒成立，函数f(x)在 x 2，1上递增 .若?x2，1 ，使得 f(x2 x)f(x k)0 成立，则 f(x2 x)f(x k)? f(x2x)f(kx)? x2 xx2 2x，即 k(x2 2x)min ，当 x 2，1 时， yx22x (x1)21 的最小值为 1.故实数 k 的取值范围是 (1， ).答案(1)D(2)A

13、探究提高1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关 是由条件信息推理判断乙、丙中一人 秀，一人良好，从而甲、丁中一人 秀，另一人良好.2.第(2) 求解的关 在于： (1)利用定 判断 f(x)的奇偶性及 x 2，1 ，函数f(x) 性， (2)理解存在量 的含 ，将命 化 ?x2，1 ， kx22x，即 k(x2 2x)min . 目突出数学 推理与 化化 数学思想方法的考 .【 3】 如 所示是 达哥拉斯 (Pythagoras)的生 程序： 正方形上 接着等腰直角三角形，等腰直角三角形 上再 接正方形，如此 ，若共得到4 095 个正方形， 初始正方

14、形的 2， 最小正方形的 _.2解析依 意，正方形的 构成以222 首 ，公比 2 的等比数列 .因 共有 4 095 个正方形， 1222 2n1 4 095，解得 n12.221212121所以最小正方形的 22264.答案164 点四直 想象与数学运算核心素养【例 4】 (1)从点 P( 1，3)向直 kxyk10 作垂 ，垂足 N， N 的 迹方程 _.解析易知直 kxyk 1 0 恒 定点 Q(1， 1).如 所示， PN QN.所以点 N 在以 PQ 直径的 上 .因此圆心坐标为 (1，1)，半径 r 2.所以点 N 的轨迹方程为 (x 1)2 (y1)2 4(x 1).答案(x1

15、)2(y1)24(x 1)(2)(2018 惠州调研 )在 ABC 中，D 是 BC 边的中点， AB 3，AC13，AD7.求 BC 边的长；求 ABC 的面积 .解设 BD x，则 BC2x，如图所示 .2BD2 AD227在 ABD 中，有 cosABDAB9x2ABBD3x，2在 ABC 中，2 BC2AC22 13有 cos ABCAB9 4x，2ABBC232x27213且 ABD ABC，即9x94x，得 x2，2 3x 2 3 2x即 BC 4.由可知， cos B1，B(0， )，得 sin B3，21 3 43 3 3.2S ABC1 2 AB BC sin B22探究提高

16、1.第(1)题中，若设点 N(x，y)，联立直线方程， 消去 k 求得点 N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q(1， 1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程 .2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理， 转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.xy 2，xy 3，【训练 4】 (1)已知实数 x，y 满足条件则 x3y 的最大值为 _.x 0，y 0，(2)第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为 1，大正方形的

17、面积为 25，直角三角形中较大的锐角为，那么 tan 4 _.解析(1)作不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.5151则当目标函数 zx3y 经过点 A 2，2时取到最大值， zmax2324.(2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，1于是有 5sin 5cos 1 02，则 sin cos 5.2249从而 (sin cos ) 2 (sincos )25，7则 sin cos 5， tan 1 sin cos 故 tan 4 7.1tan cos sin 答案 (1)4(2)7热点五数学建模与数据分析核心素养数学建模 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构

18、建模型解决问题的过程；数据分析 针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、 分析和推断， 形成关于研究对象知识的过程 .数学建模与数据分析体现了数学的应用性.【例 5】 (2017 全国 卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量 (单位： kg)，其频率分布直方图如下：(1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计 A 的概率；(2)填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50 kg箱产量 50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图

19、，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：P(K2 k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.8282K2n（adbc）（ab）（ cd）（ ac）（ b d）解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.0120.014 0.024 0.0340.040) 50.62，则事件 A 的概率估计值为 0.62.(2)列联表如下：箱产量 6.635，100100104 96故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数 )约在45 50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位

20、数 )约在 5055 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法 .探究提高1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第 (2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第 (3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现

21、的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析数学核心素养.【训练5】 (2018 烟台质检 )某中学为调查该校学生每周参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动的时间(单位：小时 )，将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在0，2)内的学生有 1 人 .(1)求样本容量 n，并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值；(2)将每周参加社会实践活动时间在4，12内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在 0，4)内定义为“不经常参加社会实践”. 已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有13 人成绩等级为“优秀”，其余成绩为“一般”. 其中成绩优秀的 13 人中“经常参加社会实践活动”的有12 人.请将 2 2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为青少年科技创新大赛成绩“优秀”与经常参加社会实践活动有关；一般优秀合计不经常参加经常参加12合计13(3)在(2)的条件下，如果从样本中