2019高考数学(文)一本策略复习教案：第二讲三角恒等变换与解三角形Word版含解析

1、第二讲三角恒等变换与解三角形年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养卷 利用正、余弦定理解三角形T16命题分析卷二倍角公式应用及余弦定理解三角2018形T7三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较三角变换求值 T14卷解三角形 T11少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经三角变换求值 T15卷常应用三角变换进行化简，综合性比正弦定理解三角形 T112017较强，但难度不大三角函数求值 T4卷学科素养正弦定理解三角形 T15三角变换及解三角形在学生能力考查T4卷利用余弦定理解三角形中主要考查逻辑推理及数学运算两大T152016卷利用正弦定理解

2、三角形素养，通过三角恒等变换及正、余弦三角恒等变换求值问题T6卷定理来求解相关问题 .解三角形 T9三角恒等变换授课提示：对应学生用书第23 页 悟通 方法结论 三角函数恒等变换“ 四大策略 ”(1)常值代换：特别是 “ 1的”代换， 1 sin2 cos2 tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如22222sin2cos (sincos ) cos ， ( ) 等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦 全练 快速解答 1 (2018 合肥模拟 )sin 18sin 78 cos 162 cos 78 ()31A 2B 2131C. 2D

3、.2解析：sin 18 sin 78 cos 162 cos 78 sin 18 sin 78 cos 18 cos 78 cos(78 18)cos 60 1，故选 D.2答案： D2 (2018 高考全国卷 )若 sin 1，则 cos 2 ()387A 9B 978C 9D 912sin21 27解析： sin ， cos 2 1 1 239.3故选 B.答案： B3 (2018 沈阳模拟 )已知 tan 2，则sin cos 2sin sin 的值为 ()1916A. 5B. 52317C.10D.10解析： 原式sin cos sin cos 22 tan 1sin sin2sin

4、2sintan sin cos tan2tan21，将tan 2 代入，得原式2310，故选 C.答案： C4 (2017 高考全国卷 )已知 (0， 2)， tan 2，则 cos(4)_.解析： 2 55(0， )，tan 2，sin ，cos ， cos() cos cossin255442255310sin 42 (55 ) 10 .答案： 31010【类题通法】三角函数式的化简方法及基本思路(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等(2)化简基本思路2“ 一角二名三结构” ，即：一看 “角 ” ，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把

5、角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看 “ 函数名称 ” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“ 切化弦” ，关于 sin cos 的齐次分式化切等；三看 “结构特征 ” ，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“ 遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式” 等解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第23 页 悟通 方法结论 正、余弦定理、三角形面积公式(1) a bc a b c 2R(R 为 ABC 外接圆的半径 )sin A sin Bsin Csin A sin B sin C变形： a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C；ab

6、csin A 2R， sin B2R， sin C2R；a bc sin A sin B sin C.(2)a2 b2c2 2bccos A，b2 a2 c2 2accos B， c2 a2 b2 2abcos C.b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2.推论： cos A2bc，cos B， cos C2ab2ac变形： b2c2 a2 2bccos A， a2 c2 b2 2accos B， a2 b2 c2 2abcos C.111bcsin A.(3)S ABC absinCacsin B222(1)(2017 高考全国卷 ) ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a，b

7、，c.已知 sinB sin A(sin C cos C) 0， a 2， c2，则 C ()A. 12B.6C.4D.3解析： 因为 sin B sinA(sin C cos C) 0，所以 sin(AC) sin AsinC sin Acos C0，所以 sin Acos C cos Asin C sin Asin C sin Acos C 0，整理得 sin C(sin Acos A) 0，3因为 sin C0，所以 sin A cos A 0，所以 tan A 1，因为 A (0，)，所以 A3，由422 21，又正弦定理得 sin C csin A0 C1， ACAB ，当 ABC

8、的周长最短时， BC 的长是 _解析： 设 AC b， AB c，BC a， ABC 的周长为l，由 bc 1，得 l ab c a2c 1.22又 cos 60 a2 b2 c21，即 ab a2 b2 c2，2ab2得 a c1 a2 c1 2 c2，22211a a4即 c2a 1.2a2 a 11 a2 1l a 2c2a 123a 1 2 34(a 1)211a12 3141a 1 2 a 13 2 3 2a 1 1 4 1，2 a 132当且仅当 a 11时， ABC 的周长最短，2 a 15此时 a 12，即 BC 的长是 1 222 .2答案： 1解三角形的综合问题授课提示：对

9、应学生用书第24 页 悟通 方法结论 三角形中的常用结论A B C(1)A B C，2 2 2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在 ABC 中， tan A tan Btan C tan Atan Btan C(A， B， C 2)(2017 高考全国卷)(12 分 ) ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a，b，c，已知.(1)求 cos B；?(2)若 a c 6， ABC 的面积为 2，求 b.? 学审题 条件信息想到方法信息 ? ：两角和与半角的三角形内角和定理及倍角公式三角等式关系信息 ? ：求 cos B化已知条件

10、为cos B 的关系式寻找平方后与余弦定理中a2 c2信息 ? ： a c 6的关系式信息 ? ：三角形面积为2利用面积公式来求ac 的值注意什么(1)三角形中的三角恒等关系式化简时， 三角形内角和定理及倍角公式的正确使用(2)转化与化归思想、 整体代入思想在解题过程中的应用 规范解答 (1) 由题设及 A B C得62Bsin B 8sin，即 sin B 4(1 cos B)，故 17cos2B 32cos B15 0，15解得 cos B，cos B 1(舍去 )158(2)由 cos B 17，得 sin B17，14故 SABC 2acsin B 17ac.又 SABC 2，则 ac

11、17. 2由余弦定理及a c6 得222 2accos Bb a c (a c)2 2ac(1 cos B)17 15 362 2 1 17 4.所以 b 2.【类题通法】1 与三角形面积有关的问题的解题模型(2 分 )(3 分 )(4 分 )(6 分 )(7 分 )(8 分 )(9 分 )(10 分 )(11 分 )(12 分 )2 学科素养 ：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养 练通 即学即用 (2018 郡中学模拟长)在锐角 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 4sin Acos2A3cos(B C) sin 3A3.(1)求 A

12、的大小；(2)若 b 2，求 ABC 面积的取值范围解析： (1) A B C ， cos(B C) cos A， 3A 2A A， sin 3A sin(2A A) sin 2Acos A cos 2Asin A，7又 sin 2A2sin Acos A，2 1 ，cos 2A2cos A将代入已知，得2sin 2Acos A 3cos A sin 2Acos A cos 2Asin A3，整理得 sin A3cos A3，即 sin3A 32 ，又 A 0， 2 ， 2 A ，即 A .33322(2)由 (1) 得 B C 3 ， C3 B， ABC 为锐角三角形，2且 B，B0，20，

13、 23解得 B 6，2，在 ABC 中，由正弦定理得2c ，sin Bsin C2 B2sin 33 1， c 2sin Csin Bsin Btan B 1，2 ， tan B (0，3)， c (1,4)，又 B 6 S ABC1333 .2bcsin A 2 c， S ABC2 ， 2授课提示：对应学生用书第115 页一、选择题1 (2018 合肥调研 )已知 x (0， ，且 cos2x sin2x，则 tanx等于 ()241B 1C 3D 3A. 33解析： 由 cos 2x sin2x 得 sin 2xsin2x，2 x (0， )， tan x 2， tan x1 1 tan

14、x 4 1 tan x 3.8答案： A102 (2018 成都模拟 )已知 sin 10， 0，2，则 cos 26的值为 ()A.4 3 343310B.10C.4 3 333 410D.1010310解析： sin 10， 0， 2， cos 10，sin 2 2sin cos 210 310 6 3，1010105cos 2 1 2sin2 1 210 2 1 14，1055 cos 2 43 3 1 43 3.6525210答案： A3(2018 昆明三中、五溪一中联考)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ABC 的面积为 S，且 2S (ab)2 c2，则

15、 tan C 等于 ()34A 4B 343C 3D 4解析： 因为 2S (ab)2c2 a2 b2 c2 2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C 2abcos C2ab，即 sin C 2cos C 2，所以 (sin C 2cos C)2 4，sin2C 4sin Ccos C 4cos2Csin2C cos2C4，tan2C 4tan C 4所以2 4，tan C 1解得 tan C 43或 tan C 0(舍去 )答案： Cc4在 ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c，若 bcos A，则 ABC 为 ()A 钝角三角形B 直角三角形C锐角三角形D 等边三角

16、形解析： 根据正弦定理得 c sin Cbsin Bcos A，即 sin Csin Bcos A.9 A B C ， sin C sin(A B)sin Bcos A，整理得 sin Acos B0， cos B0， 2B BDC ，43所以 BCA ，所以 cos BCA 2 .6在 ABC 中，AB2AC 2 BC2 2ACBCcos BCA 2 6 2263 2，2所以 AB 2，所以 ABC6，在 BCD 中，BCCD，sin DBCsin BDC即 6 CD ，解得 CD 3.2 122答案： 3三、解答题13(2018 武汉调研 )在锐角 ABC 中，内角 A， B，C 的对边分

17、别是a，b，c，满足 cos2A cos 2B2cos Bcos B 0.66(1)求角 A 的值；(2)若 b3且 ba，求 a 的取值范围解析： (1)由 cos 2A cos 2B 2cos Bcos B 0，66223212得 2sin B 2sin A 2 4cos B 4sin B 0，化简得 sin A3，又 ABC 为锐角三角形，故A .23(2) b3 a， c a， C ， B ，326313 sin B2.2由正弦定理a b，sin Asin B133得 a 3， a2，3sin Bsin B2由 sin B 12， 23 得 a 3， 3)14(2018 山模拟唐 )在

18、 ABC 中， AB 2AC 2，AD 是 BC 边上的中线， 记 CAD ，BAD .(1)求 sin sin ；(2)若 tan sin BAC，求 BC.解析： (1) AD 为 BC 边上的中线， S ACD S ABD，11ABAD sin ， ACAD sin 22 sin sin AB AC 2 1.(2) tan sin BAC sin( )， sin sin( )cos ， 2sin sin()cos ， 2sin( ) sin( )cos ， sin( )cos 2cos( )sin ， sin( )2cos( )tan ，又 tan sin BAC sin( ) 0， c

19、os( ) cos BAC 12，在 ABC 中， BC2 AB2 AC2 2ABACcos BAC 3， BC 3.15 (2018 州模拟广 )已知 a， b， c 是 ABC 中角 A，B， C 的对边，且3cos Bcos C 223sin Bsin C 2cos A.(1)求角 A 的大小；(2)若 ABC 的面积 S 53，b 5，求 sin Bsin C 的值解析： (1)由 3cos Bcos C 2 3sin Bsin C 2cos2A，得 3cos(BC) 2 2cos2A，即 2cos2A3cos A 2 0，即 (2cos A1)(cos A 2) 0，1解得 cos

20、A 或 cos A 2(舍去 )14因为 0A，所以A .313(2)由 S 2bcsin A 4 bc 53，得 bc20，因为 b 5，所以 c 4.由余弦定理a2 b2 c2 2bccos A，得 a2 25 16 2 2012 21，故 a 21.根据正弦定理a bc ，sin Asin Bsin Cbc5得 sin Bsin C sinAsin A .aa716(2018 西八校联考山 )在 ABC 中， a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 (a c)2 b2 3ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 b 2，且 sin B sin(C A) 2sin 2A，求 ABC 的面积22222解析： (1)由 (ac) b 3ac，整理得a c b ac，由余弦定理得cos B a2 c2 b2 ac 1，2ac2ac2 0B， B 3.(2)在 ABC 中， A B C ，即 B (A C)，故 sin B sin(A C)，由已知 sin B sin(C A) 2sin 2A