例举初等数学与高等数学的一些联系

1、例举初等数学与高等数学的一些联系,演讲：张小明 E-mail:,A仿射几何 仿射几何：对坐标内的点进行放缩、旋转和平移后，相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何，它是射影几何的一部分. 所谓放缩,一、仿射几何与平面几何,，平移：,，旋转,所以仿射变换指的是,（1.1）,，即,其中：,性质1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性. 说明：一一对应性指的是变换,一、仿射几何与平面几何,（1）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换； （2）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线.后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线.证明：若,三点连线，则,，,则,所以,三点连线.,性质1.2 两条平行直

2、线经仿射变换后仍变为两条平行直线. 说明：我们不妨证明两条平行直线（ ， ） 的原像是平行直线.它们的原像满足,一、仿射几何与平面几何,显然命题为真.,，,和,性质1.3 仿射变换保持简比不变. 说明：若新直线的定比分点满足,一、仿射几何与平面几何,和,，则有,一、仿射几何与平面几何,性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 说明：其实我们在性质1.1的说明中，已经证明了,与,的面积之比为,. 推论1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量. (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.,一、仿射几何与平面几何,性质1.5 在平面上给定不共线三点,、,、,及不共线三点,、

3、,、,总存在一仿射变换把,、,、,分别变到,、,、,说明：若,的坐标分别为,，,、,、,的坐标为,，,、,、,则问题化为：在,和,的条件下，,问关于,的方程,是否有解.,推论1.2 (1) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形,变到等腰直角,(2) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形,变到等边,.,一、仿射几何与平面几何,B若干应用 例1.1 、将平形四边形ABCD 各边三等分(如图) , 连EF、FH、HG、GE, 求证：SA EF= SDFH= SCHG= SBGE,证明：通过仿射变换，把,变成等腰直角三角形（,），则此时平形四边形ABCD

4、为正方形,AEF、DFH、CHG、SBGE为全等三角形，命题得证.,一、仿射几何与平面几何,例1.2 求证：三角形的三条中线共点.,一、仿射几何与平面几何,例1.3 求证椭圆,的面积为,.,一、仿射几何与平面几何,例1.4 能否在三角形ABC中找一个内接四边形PQRS，如图，使得,？,二、算术-几何平均不等式与最值单调定理,数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届IMO与CMO都有一道不等式. 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜.,二、算术-几何平均不等式与最值单调定理,二、算术-几何平均不等式与最值单调定理,二、算术-几何平均不等式与最值单调定理,二、算术-几何平均不等式与最值单调定理,二

5、、算术-几何平均不等式与最值单调定理,二、算术-几何平均不等式与最值单调定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理,三、局部调整法，

6、Schur条件与最值压缩定理,四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明,四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明,四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明,四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明,四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明,四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明,五、对称条件与非对称结果,五、对称条件与非对称结果,五、对称条件与非对称结果,五、对称条件与非对称结果,参考文献 1杨拥良.荀洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用.中等数学，2009年2期，P.8-11. 2何作发.仿射几何的几点应用.湖北大学成人教育学院学报，2004年第8期，P.76-78

7、. 3张小明，褚玉明.解析不等式新论.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年6月. 4Albert WMarshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applicationsM New York :Academic Press,Inc,1979 5王伯英控制不等式基础M北京：北京师范大学出版社，1990年 6张小明.三角形不等式的“B-C”证法不等式研究（杨学枝主编），拉萨：西藏人民出版社，2000年6月. 7杨学枝.两个三元不等式及其应用.中国初等数学研究，2009年第1期，P.7-16. 8Vasile Cirtoaje.Old and New Methods.GIL Publishing House (Zalau, Romania),2006. 9/viewtopic.php?f=25&t=23&sid=5a884a2ab0d6108cb568b1faa4cd8c82 作者介绍