2014高考汇编立体几何

1、. 数 学G单元 立体几何 G1 空间几何体的结构 20、2014安徽卷 如图15，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD2BC.过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.图15(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA14，CD2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小20解： (1)证明：因为BQAA1，BCAD，BCBQB，ADAA1A，所以平面QBC平面A1AD，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QCA1D.故QBC与A1AD的对应边相互平

2、行，于是QBCA1AD，所以，即Q为BB1的中点(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BCa，则AD2a.图1V三棱锥Q A1AD2ahdahd，V四棱锥Q ABCDdahd，所以V下V三棱锥Q A1ADV四棱锥Q ABCDahd.又V四棱柱A1B1C1D1 ABCDahd，所以V上V四棱柱A1B1C1D1 ABCDV下ahdahdahd，故.(3)方法一：如图1所示，在ADC中，作AEDC，垂足为E，连接A1E.又DEAA1，且AA1AEA，所以DE平面AEA1，所以DEA1E.所以AEA1为平面与底面ABC

3、D所成二面角的平面角因为BCAD，AD2BC，所以SADC2SBCA.又因为梯形ABCD的面积为6，DC2，所以SADC4，AE4.于是tanAEA11，AEA1.故平面与底面ABCD所成二面角的大小为.方法二：如图2所示，以D为原点，DA，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系设CDA，BCa，则AD2a.因为S四边形ABCD2sin 6，所以a.图2从而可得C(2cos ，2sin ，0)，A1，所以DC(2cos ，2sin ，0)，.设平面A1DC的法向量n(x，y，1)，由得所以n(sin ，cos ，1)又因为平面ABCD的法向量m(0，0，1)，所以cosn，m，故平面与底面A

4、BCD所成二面角的大小为.82014湖北卷 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B. C. D.8B7、2014辽宁卷 某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为()A82 B8 C8 D8图117BG2 空间几何体的三视图和直观图72014安徽卷 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面

5、体的表面积为()A21 B8C21 D18图127A22014福建卷 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱2A52014湖北卷 在如图11所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图11 A和 B和 C和 D和5D7、2014湖南卷 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图12A1 B2 C3 D47B52014江西卷 一几何体的直观图如图11所

6、示，下列给出的四个俯视图中正确的是()图11ABC D图125B7、2014辽宁卷 某几何体三视图如图11所示，则该几何体的体积为()A82 B8 C8 D8图117B32014浙江卷 几何体的三视图(单位：cm)如图11所示，则此几何体的表面积是()图11A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm23D122014新课标全国卷 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()图13A6 B6 C4 D412B62014新课标全国卷 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某

7、零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图11A. B. C. D.6C172014陕西卷 四面体ABCD及其三视图如图14所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值图1417解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFA

8、D，HGAD，EFHG.四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，DA(0，0，1)，BC(2，2，0)，BA(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，nDA0，nBC0，得取n(1，1，0)，sin |cos，n|.方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E是AB的中点，F，G分别为BD，DC

9、的中点，得E，F(1，0，0)，G(0，1，0)，FG(1，1，0)，BA(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则nFE0，nFG0，得取n(1，1，0)，sin |cos，n|.102014天津卷 一个儿何体的三视图如图13所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图1310.72014重庆卷 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的表面积为()图12A54 B60 C66 D727BG3 平面的基本性质、空间两条直线42014辽宁卷 已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，mn，则n D若m，mn，则n4B1

10、7、2014福建卷 在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图15所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值图1517解：(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD.由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)依题意，得B(0，0，0)，C(1，

11、1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M.则(1，1，0)，(0，1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1，1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin .即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.112014新课标全国卷 直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.11C解析 如图，E为BC的中点由于M，N分别是A1B1，A1C1的中点，故MNB1C1且MNB1C1，故MN綊BE，所以四边形MNEB为平行四边形，所以EN綊

12、BM，所以直线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角设BC1，则B1MB1A1，所以MBNE，ANAE，在ANE中，根据余弦定理得cos ANE.18，2014四川卷 三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A NP M的余弦值图1418解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形，所以AOBD，OCBD.因为AO，OC平面AOC，且AOOCO，所以BD平面AOC.又因为AC平面AOC，所以BDAC.取BO的中点H，连

13、接NH，PH.又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MNBD，NHAO，因为AOBD，所以NHBD.因为MNNP，所以NPBD.因为NH，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD平面NHP.又因为HP平面NHP，所以BDHP.又OCBD，HP平面BCD，OC平面BCD，所以HPOC.因为H为BO的中点，所以P为BC的中点(2)方法一：如图所示，作NQAC于Q，连接MQ.由(1)知，NPAC，所以NQNP.因为MNNP，所以MNQ为二面角A NP M的一个平面角由(1)知，ABD，BCD为边长为2的正三角形，所以AOOC.由俯视图可知，AO平面BCD.因为OC平面BCD，所以AOOC，

14、因此在等腰直角AOC中，AC.作BRAC于R因为在ABC中，ABBC，所以R为AC的中点，所以BR.因为在平面ABC内，NQAC，BRAC，所以NQBR.又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，所以NQ.同理，可得MQ.故MNQ为等腰三角形，所以在等腰MNQ中，cosMNQ.故二面角A NP M的余弦值是.方法二：由俯视图及(1)可知，AO平面BCD.因为OC，OB平面BCD，所以AOOC，AOOB.又OCOB，所以直线OA，OB，OC两两垂直如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz.则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0

15、，0)，D(1，0，0)因为M，N分别为线段AD，AB的中点，又由(1)知，P为线段BC的中点，所以M，N，P，于是AB(1，0，)，BC(1，0)，MN(1，0，0)，NP.设平面ABC的一个法向量n1(x1，y1，z1)，由得即从而取z11，则x1，y11，所以n1(，1，1)设平面MNP的一个法向量n2(x2，y2，z2)，由，得即从而取z21，则y21，x20，所以n2(0，1，1)设二面角A NP M的大小为，则cos .故二面角ANPM的余弦值是.G4 空间中的平行关系 20、2014安徽卷 如图15，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，A

16、DBC，且AD2BC.过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.图15(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA14，CD2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小20解： (1)证明：因为BQAA1，BCAD，BCBQB，ADAA1A，所以平面QBC平面A1AD，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QCA1D.故QBC与A1AD的对应边相互平行，于是QBCA1AD，所以，即Q为BB1的中点(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和

17、V下，BCa，则AD2a.图1V三棱锥Q A1AD2ahdahd，V四棱锥Q ABCDdahd，所以V下V三棱锥Q A1ADV四棱锥Q ABCDahd.又V四棱柱A1B1C1D1 ABCDahd，所以V上V四棱柱A1B1C1D1 ABCDV下ahdahdahd，故.(3)方法一：如图1所示，在ADC中，作AEDC，垂足为E，连接A1E.又DEAA1，且AA1AEA，所以DE平面AEA1，所以DEA1E.所以AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角因为BCAD，AD2BC，所以SADC2SBCA.又因为梯形ABCD的面积为6，DC2，所以SADC4，AE4.于是tanAEA11，AEA1.

18、故平面与底面ABCD所成二面角的大小为.方法二：如图2所示，以D为原点，DA，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系设CDA，BCa，则AD2a.因为S四边形ABCD2sin 6，所以a.图2从而可得C(2cos ，2sin ，0)，A1，所以DC(2cos ，2sin ，0)，.设平面A1DC的法向量n(x，y，1)，由得所以n(sin ，cos ，1)又因为平面ABCD的法向量m(0，0，1)，所以cosn，m，故平面与底面ABCD所成二面角的大小为.17、2014北京卷 如图13，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥P ABCDE中，F为棱PE的中点，平面AB

19、F与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长图1317解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，(1，1，0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1.所以n(0

20、，1，1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin |cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)即(u，v，w2)(2，1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面ABF的一个法向量，所以n0，即(0，1，1)(2，22)0，解得，所以点H的坐标为.所以PH2.19、2014湖北卷 如图14，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(00)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量

21、，则即可取n1.又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.17，2014山东卷 如图13所示，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点图13(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值17解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又M是AB的中点，所以CDMA且CDMA.连接AD1.因为在四棱柱AB

22、CD A1B1C1D1中，CDC1D1，CDC1D1，所以C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此，C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)方法一：连接AC，MC.由(1)知，CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形，所以BCADMC.由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，)因此M，所以，.设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，由得可得平面

23、C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0，0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.方法二：由(1)知，平面D1C1M平面ABCDAB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1 AB C的平面角在RtBNC中，BC1，NBC60，可得CN，所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.18，2014四川卷 三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点

24、，且MNNP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A NP M的余弦值图1418解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形，所以AOBD，OCBD.因为AO，OC平面AOC，且AOOCO，所以BD平面AOC.又因为AC平面AOC，所以BDAC.取BO的中点H，连接NH，PH.又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MNBD，NHAO，因为AOBD，所以NHBD.因为MNNP，所以NPBD.因为NH，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD平面NHP.又因为HP平面NHP，所以BDHP.又OCBD，HP平面BCD，OC平面B

25、CD，所以HPOC.因为H为BO的中点，所以P为BC的中点(2)方法一：如图所示，作NQAC于Q，连接MQ.由(1)知，NPAC，所以NQNP.因为MNNP，所以MNQ为二面角A NP M的一个平面角由(1)知，ABD，BCD为边长为2的正三角形，所以AOOC.由俯视图可知，AO平面BCD.因为OC平面BCD，所以AOOC，因此在等腰直角AOC中，AC.作BRAC于R因为在ABC中，ABBC，所以R为AC的中点，所以BR.因为在平面ABC内，NQAC，BRAC，所以NQBR.又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，所以NQ.同理，可得MQ.故MNQ为等腰三角形，所以在等腰MNQ中，cosMN

26、Q.故二面角A NP M的余弦值是.方法二：由俯视图及(1)可知，AO平面BCD.因为OC，OB平面BCD，所以AOOC，AOOB.又OCOB，所以直线OA，OB，OC两两垂直如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz.则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，0)因为M，N分别为线段AD，AB的中点，又由(1)知，P为线段BC的中点，所以M，N，P，于是AB(1，0，)，BC(1，0)，MN(1，0，0)，NP.设平面ABC的一个法向量n1(x1，y1，z1)，由得即从而取z11，则x1，y11，所以n1(，

27、1，1)设平面MNP的一个法向量n2(x2，y2，z2)，由，得即从而取z21，则y21，x20，所以n2(0，1，1)设二面角A NP M的大小为，则cos .故二面角ANPM的余弦值是.G5 空间中的垂直关系17、2014福建卷 在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图15所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值图1517解：(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD

28、内作BEBD.由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M.则(1，1，0)，(0，1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1，1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin .即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.18、2014广东卷 如图14，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点

29、E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角D AF E的余弦值图1419、2014湖南卷 如图16所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值图1619解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD.而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.(2)方法一： 如图(a)，过O1作O1HOB1于H，连接HC1.由(

30、1)知，O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.图(a)又因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1B1D1，从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1，于是OB1平面O1HC1.进而OB1C1H.故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1，OB1.在RtOO1B1中，易知O1H2.而O1C11，于是C1H.故cosC1HO1.即二面角C1OB1D的余弦值为.方法二：因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACB

31、D.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直图(b)如图(b)，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz，不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)易知，n1(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量设n2(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即取z，则x2，y2，所以n2(2，2，)设二面角C1OB1D的大小为，易知是锐角，于是cos |cos，|.故二面角C1OB1D的余弦值为.19、2014江西卷 如图16，四棱锥P ABCD中，AB

32、CD为矩形，平面PAD平面ABCD.图16(1)求证：ABPD.(2)若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值19解：(1)证明：因为ABCD为矩形，所以ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG，BCPG.在RtBPC中，PG，GC，BG.设ABm，则OP，故四棱锥P ABCD的体积为Vm.因为m，所以当m，即AB时，四棱锥P ABCD的体积最大此时，建立如图

33、所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B，C，D，P，故，(0，0)，CD.设平面BPC的一个法向量为n1(x，y，1)，则由n1，n1，得解得x1，y0，则n1(1，0，1)同理可求出平面DPC的一个法向量为n2.设平面BPC与平面DPC的夹角为，则cos .19、2014辽宁卷 如图15所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值图1519解：(1)证明：方法一，过点E作EOBC，垂足为O，连接OF.由ABCDBC可证出EOCFOC，所以EOCFOC，即FOBC

34、.又EOBC，EOFOO，所以BC平面EFO.又EF平面EFO，所以EFBC.图1方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，1，)，D(，1，0)，C(0，2，0)，因而E(0，)，F(，0)，所以(，0，)，(0，2，0)，因此0，从而，所以EFBC.图2(2)方法一，在图1中，过点O作OGBF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC平面BDC，所以EO面BDC，又OGBF，所以由三垂线定理知EGBF，因此EGO为二面角EB

35、FC的平面角在EOC中，EOECBCcos 30.由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2，从而得sinEGO，即二面角EBFC的正弦值为.方法二，在图2中，平面BFC的一个法向量为n1(0，0，1)设平面BEF的法向量n2(x，y，z)，又(，0)，(0，)，所以得其中一个n2(1，1)设二面角EBFC的大小为，且由题知为锐角，则cos |cosn1，n2|，因此sin ，即所求二面角正弦值为.19G5、G112014新课标全国卷 如图15，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.图15(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面

36、角A A1B1 C1的余弦值19解：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOA BOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又ABBC，则A，B(1，0，0)，B1，C.，AB，1BC.设n(x

37、，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以结合图形知二面角A A1B1 C1的余弦值为.18，2014四川卷 三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A NP M的余弦值图1418解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形，所以AOBD，OCBD.因为AO，OC平面AOC，且AOOCO，所以BD平面AOC.又因为AC平面AOC，所以BD

38、AC.取BO的中点H，连接NH，PH.又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MNBD，NHAO，因为AOBD，所以NHBD.因为MNNP，所以NPBD.因为NH，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD平面NHP.又因为HP平面NHP，所以BDHP.又OCBD，HP平面BCD，OC平面BCD，所以HPOC.因为H为BO的中点，所以P为BC的中点(2)方法一：如图所示，作NQAC于Q，连接MQ.由(1)知，NPAC，所以NQNP.因为MNNP，所以MNQ为二面角A NP M的一个平面角由(1)知，ABD，BCD为边长为2的正三角形，所以AOOC.由俯视图可知，AO平面BCD.因为OC平

39、面BCD，所以AOOC，因此在等腰直角AOC中，AC.作BRAC于R因为在ABC中，ABBC，所以R为AC的中点，所以BR.因为在平面ABC内，NQAC，BRAC，所以NQBR.又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，所以NQ.同理，可得MQ.故MNQ为等腰三角形，所以在等腰MNQ中，cosMNQ.故二面角A NP M的余弦值是.方法二：由俯视图及(1)可知，AO平面BCD.因为OC，OB平面BCD，所以AOOC，AOOB.又OCOB，所以直线OA，OB，OC两两垂直如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz.则A(0，0，)，

40、B(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，0)因为M，N分别为线段AD，AB的中点，又由(1)知，P为线段BC的中点，所以M，N，P，于是AB(1，0，)，BC(1，0)，MN(1，0，0)，NP.设平面ABC的一个法向量n1(x1，y1，z1)，由得即从而取z11，则x1，y11，所以n1(，1，1)设平面MNP的一个法向量n2(x2，y2，z2)，由，得即从而取z21，则y21，x20，所以n2(0，1，1)设二面角A NP M的大小为，则cos .故二面角ANPM的余弦值是.17、2014天津卷 如图14所示，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD, ADAB，ABDC，ADDCAP

41、2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角F AB P的余弦值图1417解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)(1)证明：向量BE(0，1，1)，DC(2，0，0)，故BEDC0，所以BEDC.(2)向量BD(1，2，0)，PB(1，0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2，1，1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，

42、BE，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3) 向量BC(1，2，0)，CP(2，2，2)，AC(2，2，0)，AB(1，0，0)由点F在棱PC上，设CF，01.故BFBCCFBC(12，22，2)由BFAC，得BFAC0，因此2(12)2(22)0，解得，即BF.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3，1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0，1，0)，则cos，.易知二面角F AB P是锐角，所以其余弦值为.方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EMDC，且EMDC.又由已

43、知，可得EMAB且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD平面PAD.因为AM平面PAD，所以CDAM.又BEAM，所以BECD.(2)连接BM，由(1)有CD平面PAD，得CDPD.而EMCD，故PDEM.又因为ADAP，M为PD的中点，所以PDAM，可得PDBE，所以PD平面BEM，故平面BEM平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD2，而M为PD中点，可得AM，进而BE.故在直角三角形BEM中，tanEBM，因此sinEBM

44、，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图所示，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H.因为PA底面ABCD，所以FH底面ABCD，从而FHAC.又BFAC，得AC平面FHB，因此ACBH.在底面ABCD内，可得CH3HA，从而CF3FP.在平面PDC内，作FGDC交PD于点G，于是DG3GP.由于DCAB，故GFAB，所以A，B，F，G四点共面由ABPA，ABAD，得AB平面PAD，故ABAG，所以PAG为二面角F AB P的平面角在PAG中，PA2，PGPD，APG45.由余弦定理可得AG，cosPAG，所以二面角F AB P的余弦值为.20、2014浙江卷 如图15，在四棱锥A BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角B AD E的大小图1520解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDB