计算机中数据信息的表示及运算.ppt

1、计算机中数据信息 的表示及运算,第二章,本章基本要求： 1. 掌握计算机中各常用计数制间的转换方法； 2. 掌握计算机机内信息的主要编码形式； 带符号数的编码：原码、反码、补码、移码； 无符号数的编码； 其它编码：BCD码、ASCII码、汉字编码； 3. 掌握定点数及浮点数的表示及定点数的加、减运算。,2.1数制,2.1.1进位计数制的几个基本概念 进位计数制：用少量的数字符号（也称数码），按先后次序把它们排成数位，由低到高进行计数，计满进位，这样的方法称为进位计数制 基数：进位制的基本特征数，即所用到的数字符号个数。 例如十进制 ：用09 十个数码表示，基数为10 权：进位制中各位“1”所表

2、示的值为该位的权 常用的进位制： 2，8，10，16进制。,1）十进制计数制(Decimal),基数: 10 ; 符号: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ； 计算规律: “逢十进一 ”或“借一当十” ； 并列表示: N10=dn-1dn-2 d1d0d-1d-2 d-m 多项式展开: N10=dn-1 10n-1 + d1 101 + d0 100 + d-1 10-1 + . d-m 10-m m,n为正整数,其中n为整数位数；m为小数位数。 Di表示第i位的系数,10i称为该位的权.,2）二进制(Binary),基数:2 符号:0,1 计算规律:逢二进一或借一当二 二进制的多项式表

3、示: N2=dn-1 2n-1 + dn-2 2n-2 + d1 21 + d020 + d-1 2-1 + d-2 2-2 + d-m 2-m 其中n为整数位数；m为小数位数。 Di表示第i位的系数,2i称为该位的权. 例如:一个二进制数(1101.01)2的多项式表示： (1101.01)2=123+122+021+120+02-1+12-2 = (13.25) 10,二进制数的性质,移位性质： 小数点左移一位，数值减小一半 小数点右移一位，数值扩大一倍 奇偶性质： 最低位为0，偶数 最低位为1，奇数,二进制数的特点,优点：只有0，1两个数码，易于用物理器件表示。 运算规则简单；0，1与逻

4、辑命题中的真假相对应， 为计算机中实现逻辑运算和逻辑判断提供有利条件。 缺点：书写冗长，不易识别，不易发现错误,3）十六进制(Hexadecimal),基数: 16 符号: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 计算规律: 逢十六进一或借一当十六 十六进制的多项式表示: N16=dn-1 16n-1 + dn-2 16n-2 + .d1 161 + d0 160 + d-1 16-1 + d-2 16-2 + .d-m 16-m 其中n为整数位数；m为小数位数。 Di表示第i位的系数,16i称为该位的权. 例如：十六进制数 (2C7.1F)16的表示： (2C7.1F

5、)16=2 162+12 161+7 160+116-1+1516-2 4）八进制(Octal) 其定义与十六进制相似，请自习掌握。,2.1.2 进位计数制之间的转换,1）R进制转换成十进制的方法 按权展开法:先写成多项式,然后计算十进制结果. N= dn-1dn-2.d1d0d-1d-2 .d-m =dn-1Rn-1 + .d1R1 +d0R0 + d-1R-1 .d-mR-m 例如:写出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十进制数 (1101.01)2=123+122+021+120+ 02-1+12-2 =8+4+1+0.25=13.25 (237)8=282+381+7

6、80 =128+24+7=159 (10D)16=1162+13160=256+13=269,2）十进制转换成二进制方法,一般分为两个步骤： 整数部分的转换 除2取余法（基数除法） 减权定位法 小数部分的转换 乘2取整法（基数乘法）,除基取余法：把给定的除以基数,取余数作为最低位的系数,然后继续将商部分除以 基数,余数作为次低位系数,重复操作直至商为 0例如：用基数除法将(327)10转换成二进制数,2 327 余数,2 163 1,2 81 1,2 40 1,2 20 0,2 10 0,2 5 0,2 2 1,2 1 0,2 0 1,(327)10 =(101000111) 2,减权定位法,

7、将十进制数依次从二进制的最高位权值进行比较，若够减则对应位置1，减去该权值后再往下比较，若不够减则对应位为0，重复操作直至差数为0。 例如：将 (327)10 转换成二进制数 327-256=71 1 71128 0 71-64 =7 1 732 0 716 0 78 0 7-4 =3 1 3-2=1 1 1-1=0 1 (327)10 =（101000111）2,乘基取整法(小数部分的转换) 把给定的十进制小数乘以2，取其整数作为二进制小数的第一位，然后取小数部分继续乘以2，将所的整数部分作为第二位小数，重复操作直至得到所需要的二进制小数。,例如:将(0.8125)10 转换成二进制小数.

8、整数部分 2 0.8125=1.625 1 2 0.625=1.25 1 2 0.25=0.5 0 2 0.5=1.0 1 (0.8125) 10 =(0.1101) 2,例如:将(0.2)10 转换成二进制小数,0.2 2 = 0.4整数部分0 0.4 2 = 0.8 0 0.8 2 = 1.6 1 0.6 2 = 1.2 1 0.2 2 = 0.4 0 0.4 2 = 0.8 0 0.8 2 = 1.6 1 0.6 2 = 1.2 1 （至满足需要精度为止） (0.2)10 = 0.0011001100112,3）其它进制之间的直接转换法,二八 二 十六 000 0 0000 0 1000

9、 8 001 1 0001 1 1001 9 010 2 0010 2 1010 A 011 3 0011 3 1011 B 100 4 0100 4 1100 C 101 5 0101 5 1101 D 110 6 0110 6 1110 E 111 7 0111 7 1111 F,二进制转换成八进制,例：(10110111 .01101) 2,(10 110 111.011 01) 2 =( 267.32 )8,八进制: 2 6 7 . 3 2,二进制: 010 ,110 , 111 . 011 , 010,二进制: 10 ,110 , 111 . 011 , 01,八进制转换二进制,例如

10、: (123.46 ) 8 =(001,010,011 .100,110 ) 2 =( 1 010 011.100 11 )2,二进制转换成十六进制,例：(110110111 .01101) 2,(10110111.01101) 2 =(1B7.68)16,十六进制: 1 B 7 . 6 8,二进制:0001 ,1011 , 0111 . 0110 ,1000,二进制: 1 ,1011 , 0111 . 0110 ,1,十六进制转换成二进制,例如: ( 7AC.DE ) 16 =(0111,1010,1100.1101,1110 ) 2 =( 111 1010 1100 .1101 111 )

11、2,2.2 数值数据的编码与表示,2.2.1 带符号数的编码 名词解释：真值和机器数 真值:正、负号加某进制数绝对值的形式称为真值。 如二进制真值： X=+1011 ； y=-1011 机器数：符号数码化的数称为机器数。 常用的几种码制表示法 原码、补码、反码、移码,1）原码表示法,原码表示法用“0”表示正号，用“1”表示负号，有效值部分用二进制的绝对值表示。以下n均表示字长的有效位数。 纯小数： X 1- 2-(n-1) X0 X原= 1-X=1+|X| 0X-(1-2-(n-1) ) 完成下列数的真值到原码的转换 X1 = + 0.1011011 X1原 = 0.1011011 X2 =

12、- 0.1011011 X2原 = 1.1011011,纯整数： X 2n-1-1X0 X原 = 2n-1-X=2n-1+|X| 0X-(2n-1-1),完成下列数的真值到原码的转换 X1 = + 0 1011011 X2 = - 0 1011011,X1原 = 0 1011011,X2原 = 1 1011011,原码小数的表示范围: +0原 =0.0000000 ; -0原 =1.0000000 最大值 : 1- 2-(n-1) 最小值 : -(1- 2-(n-1) 表示数值的个数: 2n - 1,思考题：若二进制的位数分别是8位、16位, 试求其表示的最大值、最小值及所能表示的数的个数？,

13、8位: 127/128，-127/128，255 16位: 32767/32768 , -32767/32768 , 65535,原码整数的表示范围: +0原 =00000000 ; -0原 =10000000 最大值 : 2(n-1)-1 最小值 : -(2(n-1)-1) 表示数的个数: 2n - 1,思考题：若二进制的位数分别是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示数的个数。,8位: 127，-127，255 16位: 32767 , -32767 , 65535,原码特点：,表示简单、易懂; 同真值之间进行转换方便; 实现乘除运算规则简单; 进行加减运算十分麻烦。,2）补码表示法,模

14、：计量器具的容量或称为模数。 4位字长的机器表示的二进制整数为： 00001111 共16种状态，模为16= 24 。 n位字长整数(包括1位符号位)的模值为2n， n位纯小数(包括1位符号位)的模值为2, n位数的模值:n位数取全1后并在末位加1。 补码的定义 (机器数的最高位表示符号) 正数的补码就是正数的本身， 负数的补码是原负数加上模。,纯小数求补： X 1- 2-(n-1) X0 x补= 2+X=2-|X| 0X-1,完成下列数的真值到补码的转换 X1 = + 0.1011011 X2 = - 0.1011011,X1补= 0.1011011,X2补= 1.0100101,纯整数求补

15、： X 2(n-1) -1 X0 x补= 2n+X=2n-|X| 0X- 2(n-1),完成下列数的真值到补码的转换 X1 = + 0 1011011 X2 = - 0 1011011,X1补= 0 1011011,X2补= 1 0100101,补码的表示范围:,N位纯整数: 2n-1-1 -2n-1 N位纯小数: 1-2-(n-1) - 1 均能表示 2n 个数 在补码系统中,由于0有唯一的编码, 因此n位二进制能表示个2n补码数。,原码与补码之间的转换,原码求补码 正数 X补=X原 负数 符号除外，各位取反，末位加1 例： X= -01001001 X原= 11001001， X补= 10

16、110110 +1=10110111 X补= 28 +X=100000000-1001001= 10110111 100000000 - 1001001 10110111,由X补求-X补（求机器负数从原码求补码）,运算过程是连同符号位一起将各位取反， 末位再加1。 设字长N=8位 例： X = +100 1001 X补 = 0100 1001 -X补 = 1011 0110 + 1 -X补 = 1011 0111,最大的优点 将减法运算转换成加法运算。,X补-Y补= X补+-Y补 例如 X=(11)10=(1011)2 ; Y=(5)10=(0101)2 已知字长n=5位 X补-Y补 =X补+

17、-Y补 =01011+11011=100110=00110 =(6)10 注： 最高1位已经超过字长故应丢掉,3）反码表示法,正数的表示与原、补码相同；负数的反码符号位为1，数值位是将原码的数值按位取反，就得到该数的反码表示。 纯小数: X 1 X 0 X反= (2- 2-(n-1) )+X 0 X -(1-2-(n-1) X1=+0.1011011 , X1 反 =0.1011011 X2= -0.1011011 , X2 反 =1.0100100 1. 1 1 1 1 1 1 1 - 0. 1 0 1 1 0 1 1 1. 0 1 0 0 1 0 0,纯整数:,X 2n-1 X 0 X反=

18、 (2n -1)+X 0 X -2n-1 X3=+1011011 , X3反 =01011011 X4= -1011011, X4反 =10100100 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 零的反码不唯一! +0反=00000000 ; -0反 =11111111,4）移码（增码）表示法,X移= 2n-1 + X 2n-1 -1 X -2n-1,X1 = 0101 0101 X1补 = 0101 0101 X1移 = 1101 0101 X2 = -0101 0101 X2补 = 1010 1011 X2移 = 0010 1011,2

19、.2.2 无符号数的表示,在数据处理的过程中，如不需要设置符号位时:可用全部字长来表示数值大小。 如8位无符号数的取值范围是0255（2）。 由此可见:同样位数的数据在机器中,采用无符号表示或有符号表示其取值范围是不同的!,码制表示法小结,X原、X反 、X补 用“0”表示正号，用“1”表示负号； X移 用“1”表示正号，用“0”表示负号。 如果X为正数，则X原=X反 =X补。 如果X为0，则 X补 、X移有唯一 编码， X原、X反则有两种编码。 移码与补码的形式相同，只是符号位相反。,2.2.3 计算机中数的表示形式,数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和最小值。 数据精度：实数所能表示的有

20、效数字位数。 数值范围和数据精度： 均与使用多少位二进制位数以及编码方式有关。 计算机用数字表示正负，隐含规定小数点。 采用“定点”、“浮点”两种表示形式。,一、数的定点表示方法,1.定点整数小数点位置固定在数的最低位之后。 如： Dn-1 Dn-2 D1 D0 . 范围：2n-1 -1 -2n-1 (采用字长 n=16 位补码时其值为32767 -32768) 2.定点小数小数点位置固定在数的符号位之后、 数值最高位之前。 如：D0. D-1 D-(n-2) D-(n-1) 范围：1 - 2-(n-1) -1 (采用字长n=16位时其值为： 32767/32768 -1) 其中n表示字长位数

21、。,1、浮点数的表示：把字长分成阶码E和尾数D两部分。 根据： 阶码E表示数据范围、尾数D表示数据精度。 (1) J Em-2.E0 S D-1D-(n-1) 阶符 阶码值 数符 . 尾数值 (2) S J Em-2 .E0 D-1D-(n-1) 数符 阶符 阶码值 . 尾数值 通常，阶码为补码或移码定点整数形式； 尾数为补码或原码定点小数。,二、 数的浮点（实数）表示方法,2、浮点数的规格化,在有限字长的情况下如何解决精度和数据的表示范围这样一对矛盾，是这里要讨论的主要问题。 目的：将阶码和尾数所占的位数协调好。 规格化方法：调整阶码使尾数满足下列关系： 尾数为原码表示时：无论正负应满足1/

22、2|d | d -1，即 1.0 x.x,例题：设某机器用32位表示一个实数，阶码部分8位（含1位阶符），用定点整数补码表示；尾数部分24位（含数符1位），用规格化定点小数补码表示，基数为2。写出 X=256.5、Y=-256.5 浮点表示格式。,1. X=(256. 5)10 =+(100000000.1)2 =(+0.1000000001 )2 x 2+9 8位阶码为：(+9)补=0000 1001 24位尾数为：(+0.10 0000 0001)补 =0.100 0000 0010 0000 0000 0000 所以X的浮点表示格式为：0000 1001 0100 0000 0010 0

23、000 0000 0000 用16进制表示此结果则为：(09402000)16 2. Y=-(256. 5)10 =-(100000000.1)2 =(-0.1000000001 )2 x2+9 8位阶码为：(+9)补=0000 1001 24位尾数为：(-0.10 0000 0001)补 =1.011 1111 1110 0000 0000 0000 所以Y的浮点表示格式为：0000 1001 1011 1111 1110 0000 0000 0000 用16进制表示此结果则为：(09BFE000)16,3、溢出问题,定点数的溢出根据数值本身判断； 浮点数的溢出根据规格化后的阶码判断。 上溢

24、浮点数阶码大于机器最大阶码中断 下溢浮点数阶码小于机器最小阶码零处理 溢出的具体判断方法将结合实例在后续课程中介绍。,三、微机中所能表示的数值类型 （FPU协处理器浮点数据处理单元）,1、无符号二进制数（字节、字和双字，受CPU支持） 2、带符号的二进制定点整数形式（参见表1-2 p12） （16、32、64位补码表示)和18位BCD码整数形式(80bit)。 3、浮点数（IEEE754标准） 包括数符S、阶码E和尾数D三个字段。 (-1)S 2E (D0.D-1D-(P-1) 最高是数符S占1位，0表示正、1表示负； 指数项E，基数是2，E是一个带有一定偏移量的无符号整数； 尾数部分D，它是

25、一个带有一位整数位的二进制小数真值形式。 其规格化形式应调整阶码使其尾数整数位D0为1且与小数点一起隐含掉。（具体形式详见表1-3。详教材第12页）,例2：将下面PC机中的单精度浮点数3F580000H换算成十进制的真值是多少？,解：3F580000H =0011 ,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000B 数符:S=(-1) 0=1 （正号） 阶码: E=(01111110)2-127=126-127= -1 尾数: D=(1.1011 )2 X=(0.11011 )2 =0.84375,例1：将十进制数178.125表示成微机中的单精度浮点数。,解: 178.

26、125=10110010.001B =+1.0110010001*27 指数E=7+127=134=10000110B （127是单精度浮点数应加的指数偏移量） 其完整的浮点数形式为 ： 0 10000110_011 0010 0010 0000 0000 0000 = 43322000H,2.3 数字化信息的编码及表示,计算机进行数据处理和运算，自然界中各种需要计算机处理的物理量，就必须首先实现数字化表达。 另外由于计算机除了可以进行数据处理和运算外，还要进行各种文字(特别是中文)的处理与编辑。因此，所有由计算机处理的信息也要用数字进行编码。这样在物理机制上可以以数字信号表示。,2.3.1

27、信息的数字化表示形式,数字信号:是一种在时间上或空间上离散的信号,单个信号是以常用的二值逻辑(0或1)来表示,依靠多位信号组合表示广泛的信息。,1.用一串脉冲信号表示数字代码 （先发低位后发高位以串行方式为例）,0,t,U,2.用一组电平信号表示数字代码,3.用一组数字代码表示字符（如ASCII码） 4.用若干点的组合表示图像（如图形点阵码） 5.用数字信号表示声音（如VCD DVD光盘） 6.用数字代码表示命令与状态（如打印机的操作、控制信息）,数字化方法表示信息的优点:,抗干扰能力强,可靠性高; 位数增多则数的表示范围可扩大; 物理上容易实现,并可存储; 表示信息的范围与类型极其广泛; 能

28、用逻辑代数等数字逻辑技术进行处理。,2.3.2 十进制数的编码,BCD码 8421码 2421码 余3码 8421码为有权代码，0 0000 0000 0011 数值为N=8d3+4d2+2d1+1d01 0001 0001 0100 十进制数63.29的BCD码为:2 0010 0010 0101 0110 0011 . 0010 10013 0011 0011 0110 4 0100 0100 0111 2421码为有权代码，5 0101 1011 1000 数值为N=2d3+4d2+2d1+1d0 6 0110 1100 1001 十进制数63.29的BCD码为:7 0111 1101

29、1010 1100 0011 . 0010 11118 1000 1110 1011 余3码为无权代码，对应8421码加3而得。9 1001 1111 1100,除上述三种BCD码之外，还有5421码、格雷码等。 在存放形式上有：压缩码和非压缩码两种。,2.3.3 西文信息在机内的表示,ASCII码(American Standard Code For Information Interchange,美国国家信息交换标准字符码)，每字符用一个字节表示，共有128个字符(最高位为0)。其中 95个字符供显示、打印使用，余下33个 为控制字符。 扩展ASCII码可表示256个编码(EBCDIC码)

30、,2.3.4 中文信息在机内的表示,1.GB2312-80国标码 国标码：我国在1981年颁布了通讯用汉字字符集（基本集）及其交换码标准GB2312-80方案，简称国标码，共7445字，各用两字节表示，分为94个行区、94个列位。 19区（图形字母）各种字母、数字、符号等682个； 1655区（一级汉字）一级 3755个汉字，按拼音排序； 5687区（二级汉字）二级3008个汉字，按部首排序； 1015、8894区为保留区，做扩充用。,区位码：将国标码中的字符按其位置划分成94个 区，每个区中94个字符。 194 19区 1015区空 1655区 5687区 8894区空 区位码是国标码的变形

31、：国标码=区位码+2020H 国标码、区位码均用4位数字进行一个汉字编码。,字母、数字、各种符号等 682个,一级汉字 3755个,二级汉字 3008个,2.汉字的输入（编码方法、方案）,特点:易学习;易记忆;效率高;重码少;容量大，易被接受。 分类:数字编码,字音编码,字形编码,形音编码。,3.汉字的输出,过程：输入编码转换为机内码（存放），用字型码检索字 库得到点阵、轮廓字型，送显示器、打印机。,4.汉字在计算机内的表示,机内码是指机器内部处理和存储汉字的一种代码 常用的机内码在国标码基础上每个字节最高位置1 机内码=国标码+8080H=区位码+A0A0H “京”字国标码为3E29H，其机

32、内码为BEA9H，其区位码为1E09H。,2.3.5 图形信息在计算机内的表示,计算机中图形的两种数字化的表示方法: 几何图形或矢量图形（轮廓字形法） 根据画图或场景中包含的内容,分别用集合要素(点、线、面、体）和物体表面的材质以及环境的光照条件、用户的观察位置等进行描述。 点阵图象或位图图象 把原始图划分为由 MN 个像素点所组成的大矩阵 参数:图像尺寸、最大颜色数（色浓度）、图像数据量。 图形与图象法各有其优缺点，但它们可相互补充、转换。,2.4.1 定点数的运算 1、定点数的加减法运算,计算机中，常采用补码进行加减运算 补码可将减法变加法进行运算 补码运算特点：符号位数值位一同参加运算

33、定点补码运算在加法运算时的基本规则： X补+Y补=X+Y补（两个补码的和等于和的补码） 定点补码运算在减法运算时的基本规则: X补-Y补=X补+-Y补=X-Y补,2.4 数值的运算方法,例如：已知机器字长n=8,X=44,Y=53.求X+Y=？,解：X原=00101100，Y原=00110101,X补=00101100，Y补=00110101,X补= 0 0 1 0 1 1 0 0 + Y补= 0 0 1 1 0 1 0 1,1,0,0,0,0,1,1,0,X+Y= + 97,例：已知机器字长n=8，X=-44，Y=-53，求X+Y=？,解：44补=00101100, 53补=00110101

34、 X补=-44补=11010011+1=11010100, Y补=-53补=11001010+1=11001011, X补=1 1 0 1 0 1 0 0 + Y补=1 1 0 0 1 0 1 1 X+Y补= 1 1 0 0 1 1 1 1 1 超出8位，舍弃模值 X+Y=-01100001，X+Y=（ -97）,例：已知机器字长n=8，X=44，Y=53，求X-Y=？,解：X补=00101100，Y补=00110101, -Y补=11001011 X补=0 0 1 0 1 1 0 0 + -Y补=1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 X-Y补=11110111，X-

35、Y=-0001001=（-9）,例:已知机器字长n=8,X=-44,Y=-53,求X-Y=？,解：X补=11010100，Y补=11001011, -Y补=00110101 X补=1 1 0 1 0 1 0 0 + -Y补=0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 超出8位（模值），舍弃 X-Y补=00001001，X-Y=+0001001 =(+9),例题：机器字长n=8，X= 120，Y=10，求X+Y=？ 解： X补=01111000，Y补=00001010, X补=0 1 1 1 1 0 0 0 + Y补=0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

36、 1 0 X+Y补=10000010，X+Y=11111110 X+Y的真值= -1111110=( -126)10 运算结果超出机器数值范围发生溢出错误。 8位计算机数值表达范围：-128+127,溢出问题：运算的结果超出数值所能表示的范围,溢出判断规则与判断方法,两个相同符号数相加，其运算结果符号与被加数相同，若相反则产生溢出； 两个相异符号数相减，其运算结果符号与被减数相同，否则产生溢出。 相同符号数相减，相异符号数相加不会产生溢出。 溢出判断方法：1.双符号法，2.进位判断法,.双符号位溢出判断法 Sf1Sf2 （也被称为变形补码）,双符号含义：00 表示运算结果为正数； 01 表示运

37、算结果正向溢出； 10 表示运算结果负向溢出； 11 表示运算结果为负数。 亦即：OVR = Sf1 Sf2 = 1 有溢出 OVR = Sf1 Sf2 = 0 无溢出 第一位符号位为运算结果的真正符号位。,例：X=0.1001,Y=0.0101,求X+Y,解: X补= 00.1001 +Y补= 00.0101 X+Y补= 00.1110 两个符号位相同，运算结果无溢出 X+Y=+0.1110,例：X= - 0.1001，Y= - 0.0101，求X+Y=？,解: X补= 11.0110 +1 = 11.0111 + Y补= 11.1010 +1 = 11.1011 X+Y补= 1 11.0010 最高为1丢掉 两个符号位相同,运算结果无溢出 X+Y= - 0.1110,例：X= 0.1011，Y= 0.0111，求X+Y=？,解: X补= 00.1011 + Y补=