椭圆知识点总结及经典习题

1、圆锥曲线与方程-椭圆 知识点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。2标准方程： 焦点在x轴上：（ab0）； 焦点F（c，0）焦点在y轴上：（ab0）； 焦点F（0, c） 注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 二椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆（ab0） 横坐标-axa ,纵坐标-bxb （2

2、）椭圆（ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（）， 是圆； e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1 （e越大），椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其

3、所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质 （1）点P在椭圆上， 最大角 （2）最大距离，最小距离7. 直线与椭圆的位置关系（1） 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2） 弦长公式： （3） 中点弦问题：韦达定理法、点差法例题讲解：一.椭圆定义：方程化简的结果是 2若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是 3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 二利用标准方程确

4、定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3椭圆的焦距为，则= 。4椭圆的一个焦点是，那么 。三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点，则该椭圆的标准方程为 。2焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 3焦点在轴上，椭圆的标准方程为4. 已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆共焦点，

5、且过点的椭圆方程。四焦点三角形1椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 。2设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？3设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为 。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点若，求的面积五离心率的有关问题1.椭圆的离心率为，则 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为 3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心

6、率 六、最值问题：1、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。2.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，七、弦长、中点弦问题 1、已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程2已知椭圆， (1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程 （2）求过点且被平分的弦所在直线的方程；同步测试 1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的

7、弦，则CDF1的周长为_ 3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( ) A -1k0 C k0 D k1或k0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对11、椭圆与（0kb0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A(0,1) B. C. D.2椭圆1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足F1PF260，则F1PF2的面积是()A. B. C. D.3已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()4已知点F，A分别是椭圆1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0

8、，b)满足0，则椭圆的离心率等于() A. B. C. D.5已知椭圆1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：ABF1的周长为8；原点到l的距离为1；|AB|；正确结论的个数为()A3B2 C1D06已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线7过椭圆C：1(ab0)的一个顶点作圆x2y2b2的两条切线，切点分别为A，B，若AOB90(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为_8若椭圆1(ab0)与曲线x2y2a2b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是_9已知ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，则_.