电子科技大学数学建模.ppt

1、第一章 建模概念及建模方法论,一、 数学科学的重要性,由于数学的重要性和广泛应用，在国际上“数学”（Mathematics）已逐渐被“数学科学”(Mathematical Sciences）代替.,第二次世界大战后，新技术、特别是高技术像雨后春笋般出现. 数学的应用，从传统的机械制造等领域迅速扩展到这些高新技术中.,目前，数学在航空航天技术，先进制造技术，信息技术，网络技术和网络安全，能源勘探开发，环境保护和生态，经济管理，城市规划和交通，基因工程和生物信息技术，生物医学和疾病防治等方面起着非常重要的作用.,科学技术是第一生产力.,* 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；,* “高技术”本

2、质上是一种数学技术 (Mathematical-Technique)；,* 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术；,* 产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.,* 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；,二、数学模型与数学建模,数学模型(Mathematical Model):重结果； 数学建模(Mathematical Modeling):重过程,模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质.,* 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；,* 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；,* 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某

3、地区地矿情况的抽象,任何一个模型仅为真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现.,数学模型(E.A.Bendar 定义)： 关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构.,数学模型是现实世界简化而本质的描述.,是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述.,治愈 瘫痪 死亡,状态（可能）,行动 （人能控制）,等待 治疗,例1.1 大夫的决策问题,可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定 及治疗原则等.,此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果.,数学模型是思考的工具,构造一个数学模型可帮助我们进行交流、 获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能

4、力，它应有助于思考过程.,数学建模：创立一个数学模型的全过程,是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程.,数学建模法是一种数学的思考方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具.,例1.1 生物医学专家根据药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，可用来分析药物的疗效，有效地指导临床用药.,例1.2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，可获取尽可能高的经济效益.,诺贝尔经济学奖获得者建立了大量的数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：,人类时间价格模型；,教师与毕业生的增长模型；,房屋出售问题模型；,最优消费和组合投资问题；,Selton 连锁店博弈

5、模型；,平稳人口模型；,固定汇率和浮动汇率的货币动力学,人类时间价格的度量；,考虑技术进步的生产函数.,三、 从现实世界到数学模型,数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁,面对各类问题如何建立数学模型？,1. 世界的末日？,当一个直径约为1000米的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？,2. 如何控制喷泉的高度？,如何智能实时控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？,3. 地球会变暖了吗？,能否根据地球过去50年的温度数据，推测地球气温将怎样变化？是否会即将出现“千年极寒”？,4. 如何安排城市交通？,巴黎凯旋门,在城市的交通要道，设置人流、汽车流的交通规

6、则，避免交通阻塞，提高交通安全性 .,数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有规律, 做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构.,现 实 世 界,数 学 世 界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答 对现实对象的描述、分析、预报、 决策、控制等结果,始于现实世界并终于现实世界,例1.3 一场笔墨官司,美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里. 他们这种做法安全吗？,分析 可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.,联想：安全 、危险,问题的关键

7、,1）圆桶至多能承受多大的冲撞速度？ (40英尺/秒),2） 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,问题转为求这种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）,可利用的数据条件：,圆桶的总重量 W=527.327（磅）,圆桶受到的浮力 B =470.327（磅）,圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C =0.08,思路 利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移y(t) 满足的微分方程：,方程的解为,计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间 t0=？,分析 考虑圆桶的极限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！,结论 解决问题的方向是正确的.,解

8、决思路 避开求t0的难点,令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉位移,代入(1)得,两边积分得函数方程：,若能求出函数v = v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试),* 用数值方法求出v(300)的近似值为,v(300)45.41（英尺/秒）40（英尺/秒）,* 分析 v =v (y) 是单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数 y =y(v),两种解决思路：,令 v =40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),y = 238.4 (英尺)300（英尺）,算出,例1.2 渡口模型(P22实例六),一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米,可以并排停放

9、两列车辆的渡船.他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能安全地运过尽量多的车辆.,分析 怎样安排过河车辆，关心一次可以运 多少辆各类车.,准备工作 观察数日，发现每次情况不尽 相同，得到下列数据和情况：,(1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；,这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题.,(2) 来到车辆中,轿车约占40，卡车约占55,摩托车约占5；,(3) 轿车车身长为3.55.5米,卡车车身长为810米.,解决方法 采用模拟模型方法.,分析 需考虑以下问题：,(1) 应该怎样安排摩托车？,(2) 下一辆到达的车是什么类型？,(3) 怎样描述一辆车的车身长度

10、？,(4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队 中的哪一列中去？,解决问题思路：,(1) 认为摩托车不会占有实际空间.,(2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法,卡车,轿车,摩托车,(3) 确定随机到达车辆的身长车.,汽车类型及车身长模拟原理分析,(4) 关于车辆的排放.,甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为 322=64米,排放原则 两列尽可能均衡.(怎样实现？),据人口学家们预测,到2033年,世界人口将突破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长.人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口的增长.,分析 设任意时刻的人口总数为N(t)，

11、影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？,例2.3 人口增长模型,影响因素,现仅考虑出生和死亡对人口数的影响.,在时间段 t 内，出生和死亡人口数的变化将依赖于以下因素：,1.时间间隔t的长短；,2.时间间隔开始时的人口基数.,1.建模过程 做最简单的假设：,时间间隔t内的出生人数= b N(t)t 时间间隔t内的死亡人数=d N(t)t,b 和d 分别是出生率和死亡率.,得到一个初始模型,N(t+t)N(t) = (bd)N (t) t （1）,针对时间区间t的两种情况进一步讨论：,1）t是一个确定的单位时间(比如t=1年),令 Nk= N(k)=N (k t), k=1,2,3,得到

12、关于序列Nk , k=1,2,3, 的差分方程:,Nk+1= (bd+1)Nk k=1,2,3, （2）,根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及逐年的人口数.,2）在很短的时间区间t内，将人口数(t) 视为一个连续变量.,具有很小跃变的曲线可视为平滑曲线,将(1)改写为,令t0, 有,（3）,模型分析 等式左端（以及右端）可以理解 为“相对增长率”,对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线.,1）假设人口净增长率b和净死亡率d 均为常数，净相对增长率r=bd 也是常数.,初始条件N0=N(0)，方程(3)的解为 N(t) = N0ert , t0,模型分析 假若

13、净增长率r 0,人口的预测值将以e r为公比按几何级数无限增长.（参见P60例3.4.6 ）,原因 假设条件过于简单.,不太符合实际,英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料的基础上建立的模型.,实际上随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率r近似地看着常数.,3. 模型改进 将“人口净增长率”视为函数r(N),方程(3)改为,（4）,解得,由于rN(t)是未知函数,无法确定N(t).,将净增长率r 看成人口数N的线性函数,设 r(N)=a+ c N,并设r(0)=r,且存在一个数值K 使r(K)=0. 即有,求解得 r(N)=r( 1N / K )，,4. 进一步改进,代入式(4)中,有,得到Logistic模型：,模型