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1、2.3等差数列前n项和(1),1,我国数列求和的概念起源很早,在南北朝时,张丘 建始创等差数列求和解法.他在张丘建算经中给 出等差数列求和问题.,等差数列求和的历史,高 斯 (1777年-1855年) 德国著名数学家,1 + 2 + 3 +50+51+98+99+100,1+100=101,2+ 99=101,3+ 98=101,50+ 51=101,(100+1) 100/2 =5050,2,探究发现,问题 :,1,100,获得算法:,图案中,第1层到第100层一共有多少颗 宝石?,3,问题1:1+2+3+n=?,(倒 序 相 加 法),解:,4,= a3+an-2,= a2+an-1,设等
2、差数列an的前n项和为Sn,即:,a1+an,=,似乎与n的奇偶有关,问题是一共有多少个,a1+an,a1+a2+a3+a4+ an-2+ an-1+an=,5,设等差数列an前n项和为Sn ,则,6,设等差数列an的前n项和为Sn,即: Sn=a1+a2+an,Sn= a1 + a2 + a3 + + an-2 + an-1 + an,Sn= an + an-1+ an-2 + + a3 + a2 + a1,两式相加得: 2Sn = (a1+an )n,算法:倒序相加求和,7,等差数列的前n项和公式的另一种推导,8,例2 等差数列-10,-6,-2,2, 前多少项的和为54?,解:设题中的等
3、差数列是an,前n项和为Sn,则a110,d6(10)4,解得 n19,n23(舍去),因此,等差数列的前9项和是 54,令 54,由等差数列前n项和公式,得:,(1)解:由已知得:,整体思想认识公式,9,例2:等差数列an中, d=4, an=18, Sn=48,求a1的值。,解: 由 an= a1+(n-1)d,得: 18= a1+(n-1)4,或,10,11,例2、已知一个等差数列an的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这等差数列的前n项和的公式吗?,分析:方程思想和前n项和公式相结合,分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可以得到两个关于首项和公差的关系式,他们是关于首项和公差的二元一次方程,由此可以求得首项和公差,从而得到所求的前n项和的告诉.,解:由题意知:S10310,S201220,将它们代入公式,得到,12,当n 1时:,当n=1时:,也满足式.,13,【解析】由题意知,等差数列的公差为,于是,当n取与 最接近的整数即7或8时, 取最大值,答案: 27,练习1、,练习2、等差数列10,6,2,2,的前_ 项的和为54?,答案: n=9,或n=-3(舍去),14,课堂小结,1
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