高等代数试题四

1、高等代数试题四 线性变换 一 判断题 33(1) 在向量空间r中, ?(x1,x2,x3)?(2x1,x2,x2?x3), 则?是r的一个线性变换. ( ). 2(2) 在向量空间rnx中, ?(f(x)?f(x), 则?是rnx的一个线性变换. ( ). (3) 取定a?mn(f), 对任意的n阶矩阵x?mn(f), 定义?(x)?ax?xa, 则?是mn(f)的一个线性变换. ( ). (4) ?是向量空间v的线性变换, 向量组?1,?2,?,?m线性相关, 那么 ?(?1),?(?2),?,?(?m)也线性相关. ( ). (5) 在向量空间rnx中, 则微商?(f(x)?f(x)是一个

2、线性变换. ( ). 3(6) 在向量空间r中, 已知线性变换 ?(x1,x2,x3?)?(x1,x2,x3?)(x1?x2,x?2).x3,x3),(x1,0x,3 则(?2?)(x1,x2,x3)?(x2?x1,x2?x3,?x3). ( ). (7) 对向量空间v的任意线性变换?, 有线性变换?, 使?(?是单位变换). ( ). (8) 向量空间r的两个线性变换?,?为?(x1,x2)?(x1,x2?x1);?(x1,x2)?(x1?x2,x2) 2则(?)(x1,x2)?(?x2,x1?x2). (9) 在实数域f上的n维向量空间v中取定一组基后, v的全体线性变换和f上全体n2阶矩

3、阵之间就建立了一个一一对应. ( ). (10)在取定基后, v的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. ( ). (11) 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). (12) 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). (13) 域f上的向量空间v及其零子空间, 对v的每个线性变换来说, 都是不变子空间. ( ). (14) 除零变换外, 还存在向量空间v的线性变换, 能使v的任意子空间对该变换不变.( ) 1 (15) 向量空间v的线性变换?1的不变子空间w, 也是v的另一线性变换?2的不变子空 间, 这里?2?1. ( ). (16) 向量空间

4、v的线性变换?的象与核都是?的不变子空间. ( ). (17) 线性变换?的特征向量之和, 仍为?的特征向量. ( ). (18) 属于线性变换?同一特征根?0的特征向量的线性组合仍是?的特征向量. ( ). (19) 数域f中任意数?都是f上的向量空间v的零变换的特征根. ( ). (20) ?在一个基下可以对角化, 则?在任何基下可以对角化. ( ). (1)正确 (2)错误 (3)正确 (4)正确 (5)正确 (6)正确 (7)错误 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)错误 (16正)确 (17)错误 (18)正确 (19

5、)错误 (20)错误 二 填空题 (1) 设v和w是数域f上的向量空间, 而?:v?w是一个线性映射, 那么?是单射的 充要条件是_. (2) 设v和w是数域f上的向量空间, 而?:v?w是一个线性映射, 那么?是满射的 充要条件是_. (3) ?是向量空间v的线性变换, 若满足_, 则称?是可逆变换. (4) 向量空间v的任意线性变换?, 都有?(0)?_,?(?)?_ .(5)?是n维向量空间v的一个位似变换: ?(?)?k?,那么?关于v的_基的矩 阵是ki. (6) 在v3的基?1,?2,?3下?的矩阵是 ?a11?a?a21?a?31a12a22a32a13?a23 ?a33?那么?

6、关于基?3,?1?2,2?1的矩阵是_. (7) 在f 3中的线性变换?(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1), 那么?关于基 2 ?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)的矩阵是_. 2(8)设?1,?2分别是向量空间r中绕原点逆时针旋转?1,?2角的线性变换, 那么?2?1关于 基?1?(1,0),?2?(0,1)的矩阵是_. (9) 对于域f上向量空间v的数乘变换来说_不变子空间. (10)2维平面上的旋转变换?,_非平凡的不变子空间. (11) 若线性变换?与?是_, 则?的象与核都是?的不变子空间. (12) 相似矩阵有_的特征多项式. (1

7、3)(?0i?a)x?0的_都是a的属于?0的特征向量. (14) a与对角阵相似, f(x)?fx, 则f(a)必与某一_. (15) 设v是数域f上的n维向量空间, ?l(v),?的不同的特征根是?1,?2,?,?t, 则 ?可对角化的充要条件是_. (16) 设?是实数域f上的n维向量空间v的线性变换, 如果v的任意一维子空间都是?的不变子空间, 那么?可以_. (17) 设?是实数域f上的n维向量空间v的线性变换, ?可对角化的充要条件是 1)?的特征多项式的根都在f内; 2)_; (18) 设a?mn(f), 如果a的特征多项式在f内有_, 那么a可对角化. (19) 设?是实数域f

8、上的n维向量空间v的线性变换, ?是?的一个特征根, 则dimv?_?的重数. ?3?(20) 矩阵?0?0?2207?4的特征根是_. ?5?答案 (1)ker(?)?0 (2)im(?)?w (3)存在v的线性变换?, 使? (4)0,? 3 ?a13?(5)任意 (6)?a23?a?332a?11? (7)a2?a2a122?21a3?a322a?1?3112a1?a1?2?0?1?1100?1 ?0?cos(?1?2)(8)?sin(?1?2)?sin(?1?2)? (11可交换的)? (9)每个子空间都是 (10没有 cos(?1?2)?t (15) (17)v?i?n (16对角化

9、(12相同) (13)非零解向量 (14对角阵相似)?dimi?1对于?的特征多项式的每一个根?, 特征子空间v?的维数等于?的重数 (18)n个不同的 单根 (19)? (203, 2, 5 )三. 单选题： 1 向量空间vn(f)的零变换?的象及核的维数分别是（ ）。 a.0,n b. n,0 c.0,0 d. n, n 2向量空间vn(f)的单位变换t的象及核的维数分别是（ ）。 a. 1,n?1 b.n?1,1 c.n,0 d. 0, n 3“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ ）条件。 a.充分 b. 必要 c. 充分必要 d. 以上都不对 4对于域f上向量空间v的数乘变换来说

10、，（ ）不变子空间。 a. 只有一个 b. 每个子空间都是 c. 不存在 d. 存在且有限个 5. 2 维平面上的旋转变换?，（ ）非平凡的不变子空间。 a.有一个 b. 有无穷多 c. 没有 d. 有有限个 6若线性变换?与?是（ ），则?的象与核都是? 的不变子空间。 a.互逆的 b. 可交换的 c. 不等的 d. 不可换的 7以向量空间v的任何非零向量作为特征向量的线性变换只能是（ ） a.零变换 b. 位似（数乘）变换 l c. 它们在f上均不能对角化。 d. 在f上可以对角化 答案：1.a2.c3.b4.b5.c6.b7.b8.a9.b 四 多选题 1 设?是n维线性空间的线性变换,

11、 则?在不同基下的矩阵( ). a.一定合同 ; b. 一定相似; c. 秩一定相等; d.秩不一定相等. 2 设?是线性空间v的线性变换, 则 a.?(0)?0; b. ?(a1?1?a2?2?an?n)?a1?(?1)?a2?(?2)?an?(?n); c. 当?1,?2,?,?n线性无关, ?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关; d. 当?1,?2,?,?n线性相关, ?(?1),?(?2),?,?(?n)线性相关. 3 设?是数域p上的n维线性空间v的线性变换, 且?是单的. 则 a. 若?1, ?2,?, ?n是v的一组基, 则?(?1),?(?2),?,?(?n)也是v的一组基; b. ?是满射; c. ?不是满射; d. ?是双射. 4 设v是复数域上的n维线性空间, ?,?是v的线性变换, 且?. 那么 a. 若?0是?的一个特征值, 那么v?是?的不变子空间; 0 b. ?,?的特征值一定相同; c. ?,?的特征子空间一定相同;