第1学期模拟试卷2解析1_h

1、第 1 学期模拟试卷 2 答案一、填空题（每小题 3 分 ，共计 15 分）e, x 1= 11, 1 1, xe2.数列(-1)n 1 ,) 的上确界supx =xn =(n =1, 2, 2 nn下确界infxn= -1.13. 函数f (x) = 2 x -1x 0 中是跳跃间断点.12 x +1x1已知f ( x )- 2，则lim=.4.0f (x - 2x) - f (x) 4x000p 3 11+ x211f (x) =+f (x)dx, 则 f (x)dx =35.设 x.00二、单项选择题（每小题 3 分，共计 15 分）2.3. 4. 5.1. 三、计算或证明题（每小题 9

2、 分，共计 54 分） 1 1-.1，求极限：limln(1+ x) x0 ln(x+1+ x2 ) 1- 1ln(1+ x) - ln(x + 1+ x2 )解：lim lim ln(1+ x)x0 ln(x+1+ x2 )x0ln(x + 1+ x2 )ln(1+ x)第 1 页，共 6 页 1 - 1 1+ x1+ xx + 1+ x21+ x2limx0 1 x 1 1+ln(1+ x) + ln(x + 1+ x )21+ xx + 1+ x21+ x211-1+ x1+ x2= lim111+ xx0ln(1+ x) + ln(x + 1+ x2 )1+ x21+ x2 -(1+

3、x)= limx0 (1+ x)ln(1+ x) + 1+ x2 ln(x + 1+ x2 )x-1= - 1.21+ x2 x= limx0ln(1+ x) +1+ln(x +1+ x2 ) +11+ x2x0xn2. 设 x = 1, x = 1+, x= 1+,.证明lim x 存在，n+1011+ x1+ xnn0n并求之. 证： 先证xn 单调增加.显然x1 x0，设n = k时成立，即xk xk -1， xkxk -1当n = k +1时，x- x =(1+) -（1+)k +1k1+ x1+ xk -1k= xk (1+ xk -1 ) - xk -1 (1+ xk ) =- x

4、k -1xk 0, 所以x 单调增加；(1+ x )(1+ x)(1+ x )(1+ xn)k -1xn-1k -1kk= 1+ 2, 所以由单调增加有界数列必有极限得x 收敛.显然 xn1+ xnn-1lim x= lim(1+ nxn令lim x = a,则lim x) = 1+n0n+1n1+ xn1+ limxnn0n0n0n05 舍去)., 得a = 1+5 (a = 1-aa = 1+即1+ a223. 由方程arctan y = ln(x2 + y2 )确定了函数y = y(x), 求dy. x解: 两边对x求微分得: 第 2 页，共 6 页1y1d () = d (x + y2

5、2)y2xx2+ y21+ x2x2y x2111(-dx +dy) =x d (x2+ y2)x2 +y2+ y2 2+ y2x21x2x2y1(-x2 +y2x2dx +dy) =x(xdx + ydy)+ y2x2- ydx + xdy = xdx + ydydy = x + y dx.x - ysin 2x 2 1 4. 设 2xf (x)dx = x + C, 求dx.f (x)cos2 x .解:因为2xf (x) = 1+ cos 2x = 1+ 2 cos2x -1, 所以f (x) =x 1 dx = xdx =x sec2 xdx =xd tan x2f (x)cos x=

6、 x tan x - tan xdx = x tan x - sin xdx = x tan x + ln cos x + C.cos x5. 设x 0,常数a e，证明：（a + x）aaa+ x .a证：设f (x) = a ln(a + x) - (a + x) ln a， f (x) =而f (0) = 0，故f (x) 0.所以a ln(a + x) - (a + x) ln a 0， a ln(a + x) (a + x) ln a， ln(a + x)a ln aa+x， - ln a 0, 即f (x)单调增加.a + x 0)上是一致连续的，但在(0,1)上非一致连续.x证:

7、 设0 c x, x0 0,要使 第 3 页，共 6 页sin 1 -sin1x02 cos( 1 +) sin( 1 -)11=x2x2x02x2x0= 2 cos( x + x0 ) sin( x - x0 )x - x0 e, 2c22xx2xx2xx000 0, 存在d = c2e 0,当 x - x 0 d时,1x0有sin 1 - sin 0)上是一致连续的.xx11x =p , x =p ,n为正整数,nn2np +2np -21xn2= 1- (-1)= 2sinxn= p 0,(n )x - x p 24nn4n2p 2 -所以对小于2的任意e 0,不能找到一致连续定义中的d

8、 , 使得当 xn - xn d时,1xn esinxn四、应用题（每小题 8 分，共计 16 分）1.假设某种商品的需求量Q是单价 p(单位:元)的函数:Q = 12000 - 80 p ;商品的总成本为C 是需求量Q的函数: C = 25000 +50Q ;每单位商品需要纳税 2 元,试求使销售利润最大时商品单价和最大利润额. 解:设利润函数为L(p),则 L(p)=(12000 - 80 p) p - (25000 + 50(12000 - 80 p) - 2(12000 - 80 p)由L(x) = 12000 -160 p + 4000 +160 = 0, 得唯一驻点p = 101,所以由问题的实际意义,当p = 101时, 利润最大, 最大利润为L(101)=167080. 第 4 页，共 6 页x - x02.求位于曲线y = ex下方，该曲线过原点的切