高数B2综合练习答案

1、综合练习一参考答案一、单项选择题1、B2、C 3、C4、A5、B 6、C 7、D 二、填空题（1）（2）（3）（4）（5）（6）、三、计算题1、求定积分 解 2、求定积分 解 3、设求。解 因为 4、设是可微函数，求。解 因为 所以 5、设是由方程所确定的隐函数，求。解 设 故 6、计算，其中是由所围成的闭区域。 解 四、解答题1、判定级数的敛散性。解 因为 ，所以级数 绝对收敛2、求曲线与直线所围成的图形面积，并求此图形绕轴旋转所得旋转体的体积。解 曲线与直线的交点为 面积 旋转体体积3、将展开成的级数，并指出收敛域。解 即 由，故收敛域为 4、求微分方程的通解。解 方程化为 ，这是一个一阶

2、线性微分方程，由公式得 5、求微分方程在初始条件下的特解。解 由特征方程，解得 ，所以方程的通解为 由初始条件，得 ，解得 ，故所求特解为 五、 设工厂生产和两种产品，主量分别为和(单位：千件)。利润函数为 (单位：万元) 已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤， 现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？解：这是一个在约束条件下，求的极大值的一个条件极值。 作拉格朗日函数，由 ，解得。 驻点唯一，实际问题有最优解，所以两种产品各生产 和件时，利润最大。六、 设连续，且，试证：。证明 ：令 则，得 ，两边对求导得 ，由此得 令得 ，即 综合练习二参

3、考答案一、单项选择题1、A2、C 3、B4、D5、A 6、B 7、B 二、填空题（1）（2）（3）（4）发散（5）（6）、三、计算题 1、计算 解 2、 解 3、设，求 解 4、设是可微函数，求解 5、设是由方程确定的隐函数，求解 设 故 6、计算，其中由所围成的闭区域。 解 ，于是 四、解答题1、判别级数的敛散性。解 ，而正项级数收敛， 故 收敛 ，因此原级数 绝对收敛。2、求由曲线和直线抽围成的图形的面积，并求此图形轴旋转所得旋转体的体积。解 面积 旋转体体积 3、求幂级数的收敛域以及和函数。解 ，所以收敛半径为，当时，级数发散，当时，级数收敛，因此收敛域为。 设 ，则，所以4、求微分方程

4、的通解。解 方程化为 ，这是一个一阶线性微分方程，由公式得5、求微分方程在初始条件下的特解。解 由特征方程，解得 ，所以方程的通解为 由初始条件，得，因此特解为 五、应用题1、某工厂生产一种产品同时在两个市场销售，销售量分别为和，售价分别为和，需求函数分别为和，总成本函数为。问厂家如何确定两个市场的售价，使其获得的总利润最大。解：由和得 收益函数为利润函数为 由 解得 唯一驻点 实际问题有最优解，所以两个市场的销售量分别为 件和件时，利润最大。这时的价格分别为和。 2、用钢板做一个容量为32立方米的长方体形无盖水箱，问长、宽、高各为多少时，所用的材料最省？解法1：设水箱的长、宽、高分别为 ，表

5、面积为 ，则有由，故，问题为求的最小值令 得唯一驻点 此时，又实际问题的最值存在，故水箱的长、宽、高分别为4m , 4m , 2m时，所用的材料最省。解法2： 设水箱的长、宽、高分别为，则目标函数为 约束条件为 作拉格朗日函数 可得方程组将上述方程组中的第一个方程乘，第二个方程乘，第三个方程乘，再两两相减，得 代入第四个方程得唯一驻点 ，由问题本身可知最大值一定存在，因此，当容器的长，宽均为4米，高为2米时用料最省。六、证明题 证明： 证： 在 中令 得 所以 综合练习三参考答案一、单项选择题1、D2、C 3、C4、B5、A 6、C 7、B 8、D二、填空题（1）（2）0（3）（4）（5）（6

6、）、三、解答题1、求定积分 解： 2、求定积分 解：令 3、判定级数(为常数) 的敛散性，并指出是否是绝对收敛 解： 因为 又因为 故级数 收敛 ， 所以 收敛 ， 因此原级数绝对收敛。 4、将函数展开为的幂级数，并求出其收敛域。解：因为 所以 因此 5、求微分方程求微分方程 的通解。解：这是一个一阶线性微分方程， 由通解公式得： 6、求隐函数的偏导数。解：设 ， 所以 7、设，其中具有连续偏导数，求全微分。解：由于 所以 +。 8、求二重积分，其中D是由直线和圆 所围成且在直线上方的平面区域。解：直线与圆的交点为 四、应用题1、设由曲线与直线和轴所围成的落在第一象限的平面区域。求：（1）区域

7、的面积；（2）由区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：曲线与直线的交点为 (1) 区域D的面积为 (2) 旋转体的体积 2、某农场欲围一个面积为54平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地长、宽各多少米时，所用的材料费用最少？最小费用是多少？解：设场地长为 米，宽为 米，则总造价为 约束条件为 作拉格朗日函数 求的偏导数，并令其为零得 解得，由于驻点唯一，所以场地的长为6米、宽为9米时，所用的材料费用最少。最小费用为（元）五、证明题设为连续函数，证明： 。证法1： 证法2： =综合练习四参考答案一、单项选择题1、A2、C3、B 4、B 5、D 6、C 7、A

8、8、B 二、填空题1、2、3、4、 5、6、三、计算下列各题：1、求定积分 解： 2、求定积分。解： 3、判定级数敛散性。若收敛，指出是否绝对收敛解：， 所以正顶级数收敛， 因此 级数绝对收敛 4、求幂函数的收敛区间和和函数解：因为 ，所以幂函数的收敛区间为 设， 积分得 由于 故 5、设二元函数，求全微分。 解： 6、设二元函数由方程确定，其中有连续偏导数，求。解：令 ， 所以 7、求二重积分，其中D是由直线和圆 所围成且在直线下方的平面区域。解：直线与圆的交点为 8、求微分方程的通解。解：这是一个一阶线性方程 由通解公式得： 四、应用题：1、某工厂生产甲、乙两种产品，当产量分别为 (千件)和 (千件)时，销售收入为 (万元)如果工厂每月只能生产2千件产品，问两种产品各生产多少件时，这个月的销售收入最大？(8分)解： 因为 作拉格朗日函数： 由得由于驻点唯一，所以甲产品为0.5（千件）、乙产品为1.5（千件），可使销售收入最大。2、设区域D是由曲线与直线